1、10.7相互独立事件同时发生的概率一、明确复习目标1.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生次的概率.二建构知识网络1相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.假设与是相互独立事件，那么与，与，与也相互独立.3相互独立事件同时发生的概率：事件相互独立， 2.互斥事件与相互独立事件是有区别的：互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但而互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。如果A、B相互独立，那么P（A+B）
2、=P（A）+P（B）P（AB）如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99)4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验.6独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率:.k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pnk=0时,即在n次独立重复试验中事件A没有发生,概率为Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n三、双基题目练练手1.从应届高中生中选出飞
3、行员，这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，那么该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） ( )A.B.C.D.2 (2023天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）A B C D3.（2022辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )A. p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）4. (2023湖北)接种某疫苗后，出现发热反响的概率为0.80.现有5人接种该疫
4、苗，至少有3人出现发热反响的概率为_.（精确到0.01）5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_.简答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =.6.P=（1）（1）=.四、经典例题做一做【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（）甲恰好击中目标2次的概率；（）乙至少击中目标2次的概率
5、；（）乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解：（I）甲恰好击中目标2次的概率为（II）乙至少击中目标2次的概率为（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，那么A=B1+B2，B1，B2为互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为【例2】（2023浙江）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()假设n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()假设取到的4个球中至少有2个红球的概
6、率为，求n.解：（I）记“取到的4个球全是红球为事件.（II）记“取到的4个球至多有1个红球为事件，“取到的4个球只有1个红球为事件，“取到的4个球全是白球为事件.由题意，得 所以，化简，得 解得，或（舍去），故 .【例3】(2023四川)某课程考核分理论与实验两局部进行，每局部考核成绩只记“合格与“不合格，两局部考核都“合格那么该课程考核“合格 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9 所有考核是否合格相互之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保存
7、三位小数） 解：记“甲理论考核合格为事件；“乙理论考核合格为事件；“丙理论考核合格为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格为事件；“乙实验考核合格为事件；“丙实验考核合格为事件；（）记“理论考核中至少有两人合格为事件，记为的对立事件解法1： 解法2：所以，理论考核中至少有两人合格的概率为（）记“三人该课程考核都合格 为事件 所以，这三人该课程考核都合格的概率为【例4】一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2A3B3B2（）（）靠性为P（0P1，且每个元件能否正常工作是相互独立的。今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统
8、（）、（），试分别求出它们的可靠性，并比较它们可靠性的大小。解：系统（）有两个道路，它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作，而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。系统（）每条道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1P3，系统（）不能工作的概率为(1P3)2。故系统（）正常工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3)；系统（）有3对并联元件串联而成，它能正常工作，当且仅当每对并联元件都能正常工作，由于每对并联元件不能工作的概率为(1P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系统（）正常工作的概率是：P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2
9、= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2，故系统()的可靠性大。思维点拨：此题的根本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较.【研讨.欣赏】甲、乙两个乒乓球运发动进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？解：（1）如果采用三局二胜制，那么甲在以下两种情况获胜A12：0（甲净胜两局）；A22：1（前两局各胜一局，第三局甲胜）因A1与A2互斥，故甲获胜的概率为（2）如果采用五局三胜制，那么甲在以下三种情况下获胜：B13：0（甲净胜三局）；B23：1（前三局甲胜两
10、局，负一局，第四局甲胜）；B33：2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）因此甲胜的概率为由（1）、（2）的结果知，甲在五局三胜制中获胜的可能性更大五提炼总结以为师1.正确理解概念,能准确判断是否相互独立事件,只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（AB）=P（A）P（B）.2.对于复杂的事件要能将其分解为互斥事件的和或独立事件的积，或先计算对立事件.3.善于发现或将问题化为n次独立重复试验问题,进而计算发生k次的概率.同步练习 10.7相互独立事件同时发生的概率 【选择题】1（2022年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么
11、恰好有1人解决这个问题的概率是A.p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，那么这段时间内两地都下雨的概率是 ( )A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.423.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为 ( )A.0B.1C.2D.3【填空题】4.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.他解题的正确率为，假设40分为最低分数线，那么该生被选中的概率是_.5.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率
12、分别为,甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次中至少一次命中的概率是_.6. 把n个不同的球随机地放入编号为1，2，m的m个盒子内，那么1号盒恰有r个球的概率等于_.简答.提示：1-3.BDC; 3.由C（）k（）5k=C（）k+1（）5k1，即C=C，k+（k+1）=5，k=2; 4.他须解对5题或4题.P=（）5+C（）4（1）=; 5.; 6.法一：放1个球,被放入1号盒的概率为P=.n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验. Pn（r）=C（）r（1）nr=.法二：把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m1）nr，故所
13、求概率P（A）=.【解答题】7（2023北京）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C. 那么P（A）= a，P（B）= b，P（C）= c（）应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 （）因为a
14、，b，c0， 1，所以 故p1p2, 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.8. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为平安？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为CP2（1P）2+CP3（1P）+CP4=6P2（1P）2+4P3（1P）+P4.2引擎飞机成功飞行的概率为CP（1P）+CP2=2P（1P）+P2.要使4引擎飞机比2引擎飞机平安，只要6P2（1P）2+4P3（1P）+P42P（1P）+P2.化简，分解因式得（P1）2（3P2）0.所以3P20，即得P.答：当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机平安.99粒种子分种在甲、