1、10.7相互独立事件同时发生的概率一、明确复习目标1.了解相互独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生次的概率.二建构知识网络1相互独立事件:事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.假设与是相互独立事件,那么与,与,与也相互独立.3相互独立事件同时发生的概率:事件相互独立, 2.互斥事件与相互独立事件是有区别的:互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但而互斥的两个事件是一次实验中的两个事件,相互独立的两个事件是在两次试验中得到的,注意区别。如果A、B相互独立,那么P(A+B)
2、=P(A)+P(B)P(AB)如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99)4.独立重复试验的定义:在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验.6独立重复试验的概率公式:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率:.k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pnk=0时,即在n次独立重复试验中事件A没有发生,概率为Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n三、双基题目练练手1.从应届高中生中选出飞
3、行员,这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几项标准合格的概率为,从中任选一学生,那么该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响) ( )A.B.C.D.2 (2023天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 ( )A B C D3.(2022辽宁)甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )A. p1p2B.p1(1p2)+p2(1p1)C.1p1p2D.1(1p1)(1p2)4. (2023湖北)接种某疫苗后,出现发热反响的概率为0.80.现有5人接种该疫
4、苗,至少有3人出现发热反响的概率为_.(精确到0.01)5.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为,乙生解出它的概率为,丙生解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率是_.简答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =.6.P=(1)(1)=.四、经典例题做一做【例1】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为求:()甲恰好击中目标2次的概率;()乙至少击中目标2次的概率
5、;()乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解:(I)甲恰好击中目标2次的概率为(II)乙至少击中目标2次的概率为(III)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1,乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2,那么A=B1+B2,B1,B2为互斥事件. P(A)=P(B1)+P(B2) 所以,乙恰好比甲多击中目标2次的概率为【例2】(2023浙江)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.两甲,乙两袋中各任取2个球.()假设n=3,求取到的4个球全是红球的概率;()假设取到的4个球中至少有2个红球的概
6、率为,求n.解:(I)记“取到的4个球全是红球为事件.(II)记“取到的4个球至多有1个红球为事件,“取到的4个球只有1个红球为事件,“取到的4个球全是白球为事件.由题意,得 所以,化简,得 解得,或(舍去),故 .【例3】(2023四川)某课程考核分理论与实验两局部进行,每局部考核成绩只记“合格与“不合格,两局部考核都“合格那么该课程考核“合格 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9 所有考核是否合格相互之间没有影响 ()求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;()求这三人该课程考核都合格的概率(结果保存
7、三位小数) 解:记“甲理论考核合格为事件;“乙理论考核合格为事件;“丙理论考核合格为事件;记为的对立事件,;记“甲实验考核合格为事件;“乙实验考核合格为事件;“丙实验考核合格为事件;()记“理论考核中至少有两人合格为事件,记为的对立事件解法1: 解法2:所以,理论考核中至少有两人合格的概率为()记“三人该课程考核都合格 为事件 所以,这三人该课程考核都合格的概率为【例4】一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2A3B3B2()()靠性为P(0P1,且每个元件能否正常工作是相互独立的。今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统
8、()、(),试分别求出它们的可靠性,并比较它们可靠性的大小。解:系统()有两个道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。系统()每条道路正常工作的概率是P3,不能工作的概率是1P3,系统()不能工作的概率为(1P3)2。故系统()正常工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3);系统()有3对并联元件串联而成,它能正常工作,当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件不能工作的概率为(1P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系统()正常工作的概率是:P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2
9、= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2,故系统()的可靠性大。思维点拨:此题的根本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较.【研讨.欣赏】甲、乙两个乒乓球运发动进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性较大?解:(1)如果采用三局二胜制,那么甲在以下两种情况获胜A12:0(甲净胜两局);A22:1(前两局各胜一局,第三局甲胜)因A1与A2互斥,故甲获胜的概率为(2)如果采用五局三胜制,那么甲在以下三种情况下获胜:B13:0(甲净胜三局);B23:1(前三局甲胜两
10、局,负一局,第四局甲胜);B33:2(前四局中甲、乙各胜两局,第五局甲胜)因此甲胜的概率为由(1)、(2)的结果知,甲在五局三胜制中获胜的可能性更大五提炼总结以为师1.正确理解概念,能准确判断是否相互独立事件,只有对于相互独立事件A与B来说,才能运用公式P(AB)=P(A)P(B).2.对于复杂的事件要能将其分解为互斥事件的和或独立事件的积,或先计算对立事件.3.善于发现或将问题化为n次独立重复试验问题,进而计算发生k次的概率.同步练习 10.7相互独立事件同时发生的概率 【选择题】1(2022年辽宁,5)甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么
11、恰好有1人解决这个问题的概率是A.p1p2B.p1(1p2)+p2(1p1)C.1p1p2D.1(1p1)(1p2)2.在某段时间内,甲地不下雨的概率为0.3,乙地不下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响,那么这段时间内两地都下雨的概率是 ( )A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.423.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为 ( )A.0B.1C.2D.3【填空题】4.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.他解题的正确率为,假设40分为最低分数线,那么该生被选中的概率是_.5.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率
12、分别为,甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次中至少一次命中的概率是_.6. 把n个不同的球随机地放入编号为1,2,m的m个盒子内,那么1号盒恰有r个球的概率等于_.简答.提示:1-3.BDC; 3.由C()k()5k=C()k+1()5k1,即C=C,k+(k+1)=5,k=2; 4.他须解对5题或4题.P=()5+C()4(1)=; 5.; 6.法一:放1个球,被放入1号盒的概率为P=.n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验. Pn(r)=C()r(1)nr=.法二:把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C(m1)nr,故所
13、求概率P(A)=.【解答题】7(2023北京)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.()分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;()试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C. 那么P(A)= a,P(B)= b,P(C)= c()应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 ()因为a
14、,b,c0, 1,所以 故p1p2, 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.8. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1P,且各引擎是否故障是独立的,如果至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功地飞行,问对于多大的P而言,4引擎飞机比2引擎的飞机更为平安?分析:4引擎飞机可以看作4次独立重复试验,要能正常运行,即求发生k次(k2)的概率.同理,2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次(k1)的概率,由此建立不等式求解.解:4引擎飞机成功飞行的概率为CP2(1P)2+CP3(1P)+CP4=6P2(1P)2+4P3(1P)+P4.2引擎飞机成功飞行的概率为CP(1P)+CP2=2P(1P)+P2.要使4引擎飞机比2引擎飞机平安,只要6P2(1P)2+4P3(1P)+P42P(1P)+P2.化简,分解因式得(P1)2(3P2)0.所以3P20,即得P.答:当引擎不出故障的概率不小于时,4引擎飞机比2引擎飞机平安.99粒种子分种在甲、