1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第一讲 集合与映射脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念集合论是现代数学的基础。集合论的创
2、始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合 ,。或，记为集合不属于；元素，记为属于集合元素。哪些元素不属于集合属于集合，也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。简言之，把考察的对象Ax
3、AxAxAxAxAAA关于集合的几点注意：集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。集合中的元素互不相同。当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合中的 元素一律平等。2.集合的表示法(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:)(|)()2(。具有特性来表示如下列出所具有的特性中元素将集合描述法：xpxxAxpxA=注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。01|1 1,)(1|),(,3 ,2 ,1 222。；平面上的单位圆周；东，南，西，北；=+=xxHxyyxyxGBA有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据需要选择其中的一种方法例
4、13.子集、集合相等 )1(。的子集，记为为，则称若BABABaAa )2(。相等，记为与，则称集合且若BABAABBA=)()3(的元素。中至少存在一个不属于此时，的真子集。为，则称且若ABBABABA规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：。，则AA )(2 )4(。或记为的幂集，称为的所有子集组成的集合非空集合APAAA 5 3 1 4 2 4 3 2 1 ，=BAG 086|2，则=+=xxxC；，CAGAGG=);5 (GGB因为但 )2 (4,3,2,1 ,4,3,2 ,4,3,1 ,4,2,1 ,3,2,1 ,4,3 ,4,2 ,3,2 ,4,1 ,3,1
5、 ,2,1 ,4 ,3 ,2 ,1 ,24项共计。=G想到什么没有？例24.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。2 2 项。含有个元素，则它的幂集含有如果有限集nAnA空集是任何一个非空集合的幂集的元素：2 。，则AA二、集合的基本运算。成的集合，称之为全集象（元素）的全体所构来表示所考虑的某种对或便，我们常常用记号为了研究和叙述上的方 X 也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念 ，则，设有集合BA )(|。或记为的补集（或余集）：；且的差：与；且的交：与；或的并：与CAAAABxA
6、xxBABABABxAxxBABABxAxxBABA=?)(ABBA=ABBAABBAAB ABA=)AB(|BxAxxBABA=或的并：与ABABAB=BABBA=BA)AB(|BxAxxBABA=且的交：与互斥与称 BAABAACABBAAB时，)BA(ABA=BABBABBA|BxAxxBABABA=且的差：与)(的余对称为AB一般说来,ABB)(A ABAB ABB)(A 仅当 B A 时,才有ABB)(A=ABBAABB)(A=AA=AA)(CAAAA或记为的补集（或余集）：=1,2,3,4,5,6,7,8,9 。B=4,5,6,7,8,9，设A=1,2,3,4,5，则BA例3B=6
7、,7,8 ，=0,1,2,6,7,8 .设A=0,1,2 ，则BA例4A=x|x22x 3 0 ，=x|1 x 3 .B=x|x=1,3 ，设则BA例5 6 ,5 ,4 ,3 3 ,2 ,1 ，则，设=BA,2 ,1 =BA 6 ,5 ,4 ,3 2 ,1 )(=BBA。A=6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 例6解=x|1 x 1 或 2 x 3 。故B=x|x 2 ，解不等式得,023|B2+=xxxA=x|1 x 3 ，BA例7 0,32|A 2=xxx设 .BA 求交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合 A、B、C 及全集 ，则交换律：ABBA=ABBA=结合律：
8、CB)(AC)B(A=CB)(AC)B(A=分配律：C)(AB)(AC)(BA=C)(AB)(AC)(BA=对偶律：BABA=BABA=AAAA AA=幂等律：吸收律：AB)A(AA B)A(A=AA A=AA A=AA AAC)(BC)(ACB)(A=B)(ACBA)(C=其它：三、映射的基本概念1.映射，按照某种是两个非空集合，若，设AxBA fByf 与之对应，则称有唯一确定的确定的法则，或记为：的一个引映射，记为到为从BAfBA 。，习惯上也记为，：AxxfyAxyxf=)(下在映射称为下的像，在映射称为其中，fyxfxy中记为的定义域称为映射的一个原像AfDfA );(,的值域，为的
9、全体所构成的集合称的像所有元素 fyx，即或记为)()(AffR ),(|)()(;)(。AxxfyyAffRAfD=注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。如果 x X，存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应；反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y
10、 的一一对应。2.一一对应一一对应的实质是什么？一一对应的实质 的一一对应，则到是如果YXf )()()1(22112121；，则，若，yxfxfyxxXxx=)()2(。或YXfYRf=其它内容请同学们自己看书1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必 n Z，使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.四、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为：=。0 ,0 ,|aaaaa数轴上任意两点 a，b 之间的距离为d=|a b|。绝对值常用的性质：;|,|)1 2aaaaa=;0)(|,|)2 =a ababbaba .|,|)
11、3 babababa+3.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b abxO(2)开区间(a,b)=x|a x b abOx。()(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)Oxa,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+区间(,2 与(1,+)的区间长度均为+.区间 1,4 与(1,4)的区间长度均为4(1)=5例8U(x0,)=x|x x0|0 x0+o()x0 x0 xx U(x0,)|x x0|+00 xxx ),(U 00：邻域的点xx4.邻 域U(x0,)=x|0|x x0|0 x0+o()x0 x0 xx U(x0,)0|x x0|000 xxxxx+且 ),(U 00：邻域的去心点xx点的某邻域，记为 U(x0).0 x点的某去心邻域，记为 (x0).0 xU(3,0.1)=(3 0.1,3+0.1)点 x0=3 的=0.1 邻域为点 x0=3 的去心=0.1 邻域为(3,0.1)=(2.9,3)(3,3.1)=(2.9,3.1)例9