1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学(一)第一讲 集合与映射脚本编写、教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第一章 集合与函数本章学习要求:正确理解函数概念,能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念,能正确将复合函数进行分解。会求函数(包括分段函数)的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析,建立函数关系。第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念集合论是现代数学的基础。集合论的创
2、始人是丹麦人康托尔(犹太人),他在柏林大学学习(工科)期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响,转而攻读数学,最后成为一名数学家。他于1847年提出集合论,解决了当时一系列悬而未决的问题,奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的,为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。康托尔将集合定义为:所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象(这些对象称为元素)作为一个整体来考虑的结果。1.集合 ,。或,记为集合不属于;元素,记为属于集合元素。哪些元素不属于集合属于集合,也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。简言之,把考察的对象Ax
3、AxAxAxAxAAA关于集合的几点注意:集合的元素是确切定义的,不能含糊不清。集合中的元素互不相同。当只研究一个集合时,则可不考虑其结构,视集合中的 元素一律平等。2.集合的表示法(1)列举法:将集合A的所有元素一一列举出来,并用花括号括上。表示集合的方法有两种:)(|)()2(。具有特性来表示如下列出所具有的特性中元素将集合描述法:xpxxAxpxA=注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得重复出现。01|1 1,)(1|),(,3 ,2 ,1 222。;平面上的单位圆周;东,南,西,北;=+=xxHxyyxyxGBA有些集合可以用两种表示法表示,此时可根据需要选择其中的一种方法例
4、13.子集、集合相等 )1(。的子集,记为为,则称若BABABaAa )2(。相等,记为与,则称集合且若BABAABBA=)()3(的元素。中至少存在一个不属于此时,的真子集。为,则称且若ABBABABA规定:空集是不含任何元素的集合,记为。空集是任何一个集合的子集:。,则AA )(2 )4(。或记为的幂集,称为的所有子集组成的集合非空集合APAAA 5 3 1 4 2 4 3 2 1 ,=BAG 086|2,则=+=xxxC;,CAGAGG=);5 (GGB因为但 )2 (4,3,2,1 ,4,3,2 ,4,3,1 ,4,2,1 ,3,2,1 ,4,3 ,4,2 ,3,2 ,4,1 ,3,1
5、 ,2,1 ,4 ,3 ,2 ,1 ,24项共计。=G想到什么没有?例24.有限集、无限集:含有有限个元素的集合称为有限集;含有无限个元素的集合成为无限集。2 2 项。含有个元素,则它的幂集含有如果有限集nAnA空集是任何一个非空集合的幂集的元素:2 。,则AA二、集合的基本运算。成的集合,称之为全集象(元素)的全体所构来表示所考虑的某种对或便,我们常常用记号为了研究和叙述上的方 X 也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。在wen图中,用矩形表示全集。1.集合运算的概念 ,则,设有集合BA )(|。或记为的补集(或余集):;且的差:与;且的交:与;或的并:与CAAAABxA
6、xxBABABABxAxxBABABxAxxBABA=?)(ABBA=ABBAABBAAB ABA=)AB(|BxAxxBABA=或的并:与ABABAB=BABBA=BA)AB(|BxAxxBABA=且的交:与互斥与称 BAABAACABBAAB时,)BA(ABA=BABBABBA|BxAxxBABABA=且的差:与)(的余对称为AB一般说来,ABB)(A ABAB ABB)(A 仅当 B A 时,才有ABB)(A=ABBAABB)(A=AA=AA)(CAAAA或记为的补集(或余集):=1,2,3,4,5,6,7,8,9 。B=4,5,6,7,8,9,设A=1,2,3,4,5,则BA例3B=6
7、,7,8 ,=0,1,2,6,7,8 .设A=0,1,2 ,则BA例4A=x|x22x 3 0 ,=x|1 x 3 .B=x|x=1,3 ,设则BA例5 6 ,5 ,4 ,3 3 ,2 ,1 ,则,设=BA,2 ,1 =BA 6 ,5 ,4 ,3 2 ,1 )(=BBA。A=6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 例6解=x|1 x 1 或 2 x 3 。故B=x|x 2 ,解不等式得,023|B2+=xxxA=x|1 x 3 ,BA例7 0,32|A 2=xxx设 .BA 求交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合 A、B、C 及全集 ,则交换律:ABBA=ABBA=结合律:
8、CB)(AC)B(A=CB)(AC)B(A=分配律:C)(AB)(AC)(BA=C)(AB)(AC)(BA=对偶律:BABA=BABA=AAAA AA=幂等律:吸收律:AB)A(AA B)A(A=AA A=AA A=AA AAC)(BC)(ACB)(A=B)(ACBA)(C=其它:三、映射的基本概念1.映射,按照某种是两个非空集合,若,设AxBA fByf 与之对应,则称有唯一确定的确定的法则,或记为:的一个引映射,记为到为从BAfBA 。,习惯上也记为,:AxxfyAxyxf=)(下在映射称为下的像,在映射称为其中,fyxfxy中记为的定义域称为映射的一个原像AfDfA );(,的值域,为的
9、全体所构成的集合称的像所有元素 fyx,即或记为)()(AffR ),(|)()(;)(。AxxfyyAffRAfD=注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个x X,只有唯一的一个y Y 值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。如果 x X,存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应;反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y
10、 的一一对应。2.一一对应一一对应的实质是什么?一一对应的实质 的一一对应,则到是如果YXf )()()1(22112121;,则,若,yxfxfyxxXxx=)()2(。或YXfYRf=其它内容请同学们自己看书1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR,必 n Z,使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.四、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为:=。0 ,0 ,|aaaaa数轴上任意两点 a,b 之间的距离为d=|a b|。绝对值常用的性质:;|,|)1 2aaaaa=;0)(|,|)2 =a ababbaba .|,|)
11、3 babababa+3.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b abxO(2)开区间(a,b)=x|a x b abOx。()(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)Oxa,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+区间(,2 与(1,+)的区间长度均为+.区间 1,4 与(1,4)的区间长度均为4(1)=5例8U(x0,)=x|x x0|0 x0+o()x0 x0 xx U(x0,)|x x0|+00 xxx ),(U 00:邻域的点xx4.邻 域U(x0,)=x|0|x x0|0 x0+o()x0 x0 xx U(x0,)0|x x0|000 xxxxx+且 ),(U 00:邻域的去心点xx点的某邻域,记为 U(x0).0 x点的某去心邻域,记为 (x0).0 xU(3,0.1)=(3 0.1,3+0.1)点 x0=3 的=0.1 邻域为点 x0=3 的去心=0.1 邻域为(3,0.1)=(2.9,3)(3,3.1)=(2.9,3.1)例9