1、情景设计抽象概念，类比概括构建方程张之斌摘 要 椭圆及其标准方程是研究椭圆几何性质的根底，其理论和模型对于后续曲线的探究有着一定的借鉴价值，在实际教学中需要立足知识核心，合理设计教学环节，促进学生知识与能力的双重提升.文章充分考虑学情，基于知识探究反思教学环节.关键词 椭圆;标准方程;概念;情景;探究椭圆及其标准方程是选修2的重要内容，也是高考的重点考查章节，是在学习了直线与圆方程的根底上利用坐标法对曲线的进一步研究，同时该章节的研究方法和思路也可为后续双曲线、抛物线的研究提供理论参考. 本节内容的教学重点是椭圆的定义、方程，及其坐标法的根底思想，考虑到学生的认知能力有效，需要合理设置教学内容
2、，采用合理教学方式，使学生体会知识生成，感悟方程建立，下面基于核心素養培养提出几点教学建议.情景设计，认识椭圆椭圆的定义是章节内容的根底知识，也是椭圆的本质属性，属于全新的内容. 学生对椭圆的定义和形成并没有深刻的认识，因此在教学中需要首先完成椭圆认知，应合理设计教学引入，帮助学生完成课堂过渡.椭圆在生活实际中有着广泛的存在，教学中可以采用情景教学的方式，利用直观图影来感知椭圆.教学中可以提前准备与椭圆相关的图片、实物，或利用多媒体来播放一些天体运行的轨迹图像，使学生对椭圆产生感性认识.引题：大家是否见过椭圆？天体的运行轨迹是什么形状？大家还能举出哪些椭圆的例子？本节课我们要探究椭圆，学习椭圆
3、的定义和方程.设计教学情景可以有效激发学生的学习兴趣，快速融入课堂. 实际教学中，教师可以演示椭圆的动态图像，初步感知椭圆的特征，在播放完椭圆轨迹后要及时设问，给学生留足思考的空间，引导学生思考椭圆的特点，以便后续对椭圆定义进行归纳.合理探究，抽象推理椭圆的定义对于学生而言较为抽象，教学中应采用知识探究的方式，合理设计教学活动，引导学生参与实验，通过亲身体验来完成概念归纳. 教学中提倡分三个阶段进行：演示实验归纳总结辨析推理.阶段一演示实验椭圆的形成是动态变化的过程，与圆之间有着密切的关联，教学中可以参考圆的教学设计演示实验：（1）让学生提前准备一条长15 cm的细绳;（2）将绳子的两端用图钉
4、F1和F2固定在纸板上，确保两点之间的距离为10 cm;（3）用书写笔将细绳拉紧，在纸板上慢慢移动，利用笔尖将运动轨迹绘制在纸板上，让学生观察所绘图形的形状.阶段二归纳总结完成实验后对上述实验过程进行模型抽象：设定笔尖为动点P，两个图钉F1和F2的位置为定点，如图1所示，让学生思考如下问题.问题1：动点P移动的过程中需要满足什么条件？哪些是变化的，哪些是不变的？问题2：绳子长度与定点距离之间是否存在关联.在实验过程中可以让学生一边操作一边思考问题，利用问题来适度引导，结合上述两个探究问题逐步概括椭圆的概念. 椭圆的概念概括过程中需要关注两点：一是关注“平面内，二是突出其中的“定点和“常数，结合
5、关键词的概念概括椭圆的特征.另外椭圆的概括需要完成语言之间的转化，即文字语言和数学语言之间的对应，尤其是引导学生从集合角度描述椭圆：PF1+PF2=2a（2a2c，2c=FF）.阶段三辨析推理完成概念归纳之后还需要对其加以辨析，这是由于高中阶段需要学习的曲线较为众多，掌握曲线图形的特性对于后续解析几何问题的突破十分重要.基于椭圆概念可知点F1和F2表示椭圆的焦点，F1F2那么表示焦距，可结合如下问题进行辨析.问题1：如果PF1+PF2=F1F2，所得点P的轨迹是否为椭圆？问题2：如果PF1+PF2F1F2，所得点P的轨迹是否为椭圆？上述实那么是基于动点到焦点距离之和与焦距大小之间的问题，通过问
6、题辨析有助于学生理解椭圆概念的内涵，也能及时反响学生的学习情况，帮助教师评估教学效果，合理优化教学.类比迁移，方程构建本章节的第二局部内容是教学椭圆的方程，是椭圆的感性认识到理性认知的关键环节. 其实作为解析几何重要的组成，椭圆与直线、圆等其他曲线之间有着一定的联系，对应方程的学习步骤是相一致的，因此可以采用类比迁移的方式教学.显然椭圆方程的构建过程需要经历四步，即建坐标系设关键点推导列式化简得方程. 实际教学中可以基于上述总体思考来构建椭圆的方程，同时注重设问引导，方案设计.第一步建坐标系所建坐标系不同获得的代数式也会有所差异，教学中需呈现不同的建系方案，引导学生思考方案的优劣，如以下两种方
7、案.方案一：焦点F1和F2建在坐标系的x轴上，以点F1F2的中点作为坐标系的原点，如图2;方案二：以椭圆的下端点所在平行线为x轴，以椭圆左端点所在垂线为y轴建立坐标系，如图3.结合图像的对称特性，类比圆的建系方式学生很容易可以确定方案一更为合理，后续所构方程也更为简单.第二步设关键点该步是后续列式的关键，基于椭圆概念可知PF1+PF2=2a，教学中需再次引导学生关注该式中定点F1和F2及动点P，从而确定设点P的坐标为（x，y）.第三步推导列式列式是构建方程的核心，该步中需要根据选定方案，结合关键条件来构建方程，实那么就是实现几何条件的代数坐标化，即P=PPF1+PF2=2a，教学中需要按照两点
8、之间的距离公式计算.动点P的条件坐标化：PF1=，PF2=.集合条件的代数化：+=2a.第四步化简得方程化简数式、整理方程对学生的运算能力有着一定的要求，也是求解椭圆方程的难点之一，教学中需要引导学生思考如何简化涉及根号的方程，逐步形成“移项去根号，同除得方程的化简思路，在此不再赘述方程的化简过程.类比迁移、构建方程过程中还需要关注两点：一是讨论方案，二是解读几何意义.方案讨论主要出现在建系教学中，除了考虑图像的对称性外，还需要关注焦点所处的坐标轴，这也是造成后续椭圆标准方程不同的根本所在. 而解读几何意义那么是解析几何内容的教学要求，重点关注其中a和c的几何意义，指导学生基于该意义来直接构建
9、椭圆的标准方程，这对于学生理解椭圆方程有着极大的帮助.归纳概括，应用变式橢圆的方程中含有三个参数a，b，c，参数之间有着一定的关联，其大小关系影响到焦点所在位置，同时在曲线图像上有着一定的几何意义，因此十分有必要对椭圆的标准方程进行辨析概括，同时需结适宜当的问题来进行新知稳固.1. 关于标准方程与图像的归纳对椭圆方程的辨析概括需要从两个方面进行，其一是概括方程的特征，有以下三点内容：椭圆标准方程的形式，即二元二次方程;方程中三个参数所代表的含义，对应的线段长;椭圆方程中焦点位置与参数大小之间的关系.其二是结合图像来归纳椭圆参数对图像的影响，同样需要从以下三点进行：结合勾股定理来建立三个参数之间
10、的关联，以焦点位于x轴上为例（图4），a2=b2+c2;思路与指导：辨析方程的思路是教学的重点，需要引导学生合理分析椭圆方程. 首先从方程的形式来判断是否为椭圆方程，然后结合ab0来确定椭圆的焦点，并求解椭圆的三个参数. 以式为例，显然a2=25b2=16，对应的分母中分别含有y和x，显然焦点坐标位于y轴上.问题2：椭圆的两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），椭圆上的动点P到两个焦点的距离之和为10，试求该椭圆的标准方程.思路与指导：需要根据椭圆的几何意义来求解方程中的参数，首先根据焦点坐标判断焦点所在坐标轴，然后确定参数a和c的值，结合三者关系求b值.总之，教学椭圆及其标准方程需要立足章节的核心内容，充分考虑学情，采用知识探究的方式设置活动. 教学中需要合理设问、正确引导，关注概念内涵，重视方程意义，同时设计教学环节时要充分将数学的核心素养融于教学内容中，提升学生的综合素养.
