1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）ABCD2在中，则=（ ）ABCD3已知向量，夹角为， ，则( )A2B4CD4已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B
2、必要不充分条件C充分必要条件D不充分不必要5已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD6已知角的终边经过点P()，则sin()=ABCD7设数列的各项均为正数，前项和为，且，则（ ）A128B65C64D638设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区
3、域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.对于下列说法：越小，则国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.其中正确的是：ABCD10已知命题，那么为（ ）ABCD11设，是非零向量.若，则（ ）ABCD12元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，则输出的（ ）A3B4C5D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为_.14已
4、知单位向量的夹角为,则=_.15曲线在点处的切线方程为_16在中，角，的对边分别是，若，则的面积的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，其中.（）若，求函数的单调区间；（）设.若在上恒成立，求实数的最大值.18（12分）在ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.19（12分）在中，角的对边分别为.已知，且.（1）求的值；（2）若的面积是，求的周长.20（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，均为正三角形，E为AB的中点（）证明：平面；（）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积21（12分）已知等差数
5、列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和.22（10分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)(I)试用表示：(II)证明：原点到直线l的距离为定值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【题目详解】A：为非奇非偶函数，不符合题意；B：在上不单调，不符合题意；C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；D：为非奇非偶函
6、数，不符合题意.故选：C.【答案点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.2、B【答案解析】在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案【题目详解】如下图，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B. 【答案点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题3、A【答案解析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【题目详解】由于，故选：A.【答案点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.4、B【答案解析】由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案.【题目详解】,不能确定还是，当时，存在，由又
7、可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B【答案点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.5、B【答案解析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【题目详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.6、A【答案解析】由题意可得三角函数的定义可知：，则：本题选择A选项.7、D【答案解析】根据，得到，即，由等比数
8、列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【题目详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【答案点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8、A【答案解析】利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【题目详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【答案点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.9、A【答案解析】对于，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以正确.对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均
9、有，可得，所以错误.对于，因为，所以，所以错误.对于，因为，所以，所以正确.故选A10、B【答案解析】利用特称命题的否定分析解答得解.【题目详解】已知命题，那么是.故选：【答案点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.11、D【答案解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，故也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面
10、几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、B【答案解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求
11、数列的前和、前项积等）.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可【题目详解】解：由，得，则，即，则函数的最小正周期，故答案为：8【答案点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键14、【答案解析】因为单位向量的夹角为，所以，所以=.15、【答案解析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【题目详解】因为，所以，从而切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【答案点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.16
12、、【答案解析】化简得到，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.【题目详解】，即，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.故答案为：.【答案点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）单调递减区间为，单调递增区间为；（）.【答案解析】（）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；（）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒
13、成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.【题目详解】（）函数的定义域为.当时，. 令，解得（舍去），.当时，所以，函数在上单调递减；当时，所以，函数在上单调递增.因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（）由题意，可知在上恒成立.（i）若，构造函数，则，.又，在上恒成立.所以，函数在上单调递增，当时，在上恒成立.（ii）若，构造函数，.，所以，函数在上单调递增.恒成立，即，即.由题意，知在上恒成立.在上恒成立.由（）可知，又，当，即时，函数在上单调递减，不合题意，即.此时构造函数，.，恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.综上，实数的最大值为【答案点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间
14、，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.18、（1）（2）2【答案解析】（1）转化条件得，进而可得，即可得解；（2）由化简可得，由结合三角函数的性质即可得解.【题目详解】（1），由正弦定理得，即，又 ，又 ， 由可得.（2）由（1）可得，的最大值为2.【答案点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.19、（1）；（2）【答案解析】（1）由正弦定理可得,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.
