1、24.1圆的有关性质（讲练）一、知识点1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形如图所示的圆记做O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二 ：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦
2、所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 弧AC=弧BC;弧AD=弧BD；AE=BE;ABCD;CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3、 ( 2 )推论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，A=C. 直径所对的圆周角是直角.如图c,C=90. 圆内接四边形的对角互补.如图a，A+C=180，ABC+ADC=180.二、标准例题：例1：如图，的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，则弦的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：如图：过点O作OHAB于点H，连接OA，在RtOHP中，P=30，OP=4， 在RtOAH中，OA=3， 故选总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.例2：如图，CD是O的直径，弦ABCD，连接OA，OB，BD，若AOB
4、100，则ABD _度。【答案】25【解析】解：CD是O的直径，弦ABCD，AOD=BOD=AOB=50，ABD=AOD=25总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半例3：已知：如图，O的两条半径OAOB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F求证：CDAEBF【答案】见解析【解析】连接AC、BD，OAOB，AOB=90，OA=OB，OAB=OBA=45，C，D是的三等分点，AC=CD=BD，AOC=COD=DOB=30，AOC=COD，OA=OC=OD，AOCCOD，ACO=OCD，OEFOAE+AOE4
5、5+3075，OCD=75，OEFOCD，CDAB，AECOCD，ACOAEC故ACAE，同理，BFBD又ACCDBDCDAEBF总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等例4：如图，是半圆的直径，为弦，为弧的中点，于点，交于点，交于点.求证：.【答案】见解析.【解析】为弧的中点，B=CAF，是半圆的直径，.，.是的中点，.，.总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.三、练习1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说
6、法正确的是（ ）A这两条弦所对的弦心距相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦所对的弧相等D这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【解析】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.2如图，BD是O的直径，圆周角A = 30，则CBD的度数是（ ）A30B45C60D80【答案】C【解析】解：如图，连接CD，BD为O的直径，BCD=90，D=A=30，CBD=90-D
7、=60故选：C3已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】解：如图OD=OA=OB=5，OEAB，OE=3，DE=OD-OE=5-3=2cm，点D是圆上到AB距离为2cm的点，OE=3cm2cm，在OD上截取OH=1cm，过点H作GFAB，交圆于点G，F两点，则有HEAB，HE=OE-OH=2cm，即GF到AB的距离为2cm，点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，故选：C4把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）A2B2.5C3D4【答案】B【解析】如图：EF的中
8、点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OF，四边形ABCD是矩形，C=D=90，四边形CDMN是矩形，MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B5如图，AB是O的直径，C是O上一点（A、B除外），AOD136，则C的度数是（ ）A44B22C46D36【答案】B【解析】AOD136，BOD44，C22，故选：B6如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（）ABCD【答案】B【解析】解：，故选：B.7如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题
9、：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD为O的直径，弦ABCD于E，CE1寸，AB10寸，则直径CD的长为（）A12.5寸B13寸C25寸D26寸【答案】D【解析】解：设直径CD的长为2x，则半径OCx，CD为O的直径，弦ABCD于E，AB10寸，AEBEAB105寸，连接OA，则OAx寸，根据勾股定理得x252+（x1）2，解得x13，CD2x21326（寸）故选：D8如图，是上的点，则图中与相等的角是（）ABCD【答案】D【解析】解：与都是所对的圆周角，故选：D9若的一条弦长为24，弦心距为5，则的直径长为_【答案】26【解析】解:
10、根据题意画出相应的图形,如图所示, OCABAC=BC= AB=12在 RtAOC中,AC=12 OC=5, ,根据勾股定理得: AO= ,则圆 O的直径长为26 .故答案为:2610如图，在中，直径，弦于，若，则_【答案】【解析】由圆周角定理得，COB=2A=60，CE=OCsinCOE=2=，AECD，CD=2CE=2，故答案为：2.11如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_【答案】1【解析】解：AB为直径，故答案为112如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是
11、_cm.【答案】5【解析】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C如图所示则AB=8cm，CD=2cm连接OC，交AB于D点连接OA尺的对边平行，光盘与外边缘相切，OCABAD=4cm设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，解得R=5，该光盘的半径是5cm故答案为：513如图，是圆的弦，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_【答案】【解析】解：解：连接OA，设半径为x，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，解得，故答案为：14足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？【答案】一样大，理由见解析.【解析】解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大.根据圆周角定理的推论可得ADB=ACB.15如图，在ABC中，ABAC，AC是O的弦，BC交O于点D，作BAC的外角平分线AE交O于点E，连接DE求证：DEAB【答案】见解析.【解析】ABAC，BC，AE平分FAC，FAEB，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，DEAB16如图，ABC的三个顶点都在O上，AD为O的直径，AEBC于点E，交O于点F求证：13
