1、第8讲分式方程及其应用1分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程解法分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解3分式方程的增根 使最简公分母为0的根 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根4分式方程的实际应用(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：工程问题：工作效率；工作时间；销售问题：售价标价折扣；行程问题：时间.(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： 审：审清题意； 设：设出适当的未知数(直接设未知数或
2、者间接设未知数)； 找：找出各量之间的等量关系； 列：根据等量关系，列出分式方程； 解：解这个分式方程； 验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意； 答：写出答案审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点考点1：分式方程的解法【例题1】解方程：1.【解答】解：方法一：去分母，得42(3x1)3.解得x.检验：当x时，2(3x1)0，x是原分式方程的解方法二：设3x1y则原方程可化为1，去分母，得42y 3.解得y.3x1.解得x.检验：当x时，6x20，x是原分式方程的解方法三：移项，得1.通分，得1.由分式的性质，得6x21.解得x.检验：当x时，6x20，x是原分式方程的解
3、归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根考点2：分式方程的应用【例题2(2023年吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度冰冰：庆庆：20根据以上信息，解答下列问题(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间；(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲
4、队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米(选择一个即可)(3)选冰冰的方程：，解得x40.经检验，x40是原方程的根答：甲队每天修路的长度为40米选庆庆的方程：20，解得y10.经检验，y10是原方程的根40.答：甲队每天修路的长度为40米归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义考点3：分式方程与其它问题的综合应用【例题3】（2023年山东潍坊10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了100
5、0千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（120%）12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则
6、去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：，求得x即可（2）根据总利润（售价成本）数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（120%）12万元整理得x219x1200解得x24或x5（不合题意，舍去）故这种水果今年每千克的平均批发价是24元（2）设每千克的平均售价为m元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有w（m24）（180+300）60m2+4200m66240整理得w60（m35）2+7260a600抛物线开口向下当m35元时，w取最大值即每千克的平均销售价为3
7、5元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题一、选择题：1. （2023年，山东淄博，4分）解分式方程2时，去分母变形正确的是（）A1+x12（x2）B1x12（x2）C1+x1+2（2x）D1x12（x2）【答案】D【解答】解：去分母得：1x12（x2），故选：D2. （2023年山东省聊城市3分）如果分式的值为0，那么x的值为（）A1B1C1或1D1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得|x|10且x
8、+10，解得，x1故选：B3. （2023年海南）（3.00分）分式方程=0的解是（）A1B1C1D无解【答案】B【解答】两边都乘以x+1，得：x21=0，解得：x=1或x=1，当x=1时，x+10，是方程的解；当x=1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；所以原分式方程的解为x=1，故选：B4. （2023年湖南株洲3分）关于x的分式方程0的解为（）A3B2C2D3【答案】B【解答】解：去分母得：2x65x0，解得：x2，经检验x2是分式方程的解，故选：B5. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )A -3 B -2 C1 D2
9、【答案】C解析：解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意A点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C二、填空题：6. （2023年湖南岳阳4分）分式方程的解为x1【答案】1【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+12x，解得x1将x1代入x（x+1）20所以x1是原方程的解7. （2023年黑龙江齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为 【答案】1或5或【解答】解：去分母得：x+4+m（x4）=m+3，可得：（m+1）x=5m1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=1，当m+10时，
10、则x= =4，解得：m=5或，综上所述：m=1或5或，故答案为：1或5或8. （2023年，四川巴中，4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为1【答案】1【解答】解：方程两边都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最简公分母x20，解得x2，当x2时，m1故m的值是1，故答案为1三、解答题：9. 解分式方程：1.【解析】：方程两边同乘(x5)，得x1x52x， 整理得，2x6， 解得x3.检验：当x3时，x50，则x3是原分式方程的解10. (2023年宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高
11、了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部【解析】：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(150%)x万部，根据题意，得5，解得x20.经检验，x20是原方程的解，且符合题意(150%)x30.答：每月实际生产智能手机30万部11. (2023年河北模拟)甲、乙两地相距72千米，嘉嘉骑自行车往返两地一共用了7小时，已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快，求嘉嘉去时的平均速度是多少？下框是淇淇同学的解法解：设嘉嘉去时的平均速度是x千米/时，则回时的平均速度是(1)x千米/时，由题意，得7，你认为淇淇同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等
12、量关系，并完成剩下的步骤；若不正确，请说明原因，并正确地求出嘉嘉去时的平均速度【解析】：淇淇同学的解法不正确；因为“去时的平均速度比返回时的平均速度快”并不等于“返回时的平均速度比去时的平均速度慢”设嘉嘉返回时的平均速度是x千米/时，则去时的平均速度是(1)x千米/时，由题意得7，解得x18.经检验，x18是方程的解，且符合题意(1)x24.所以嘉嘉去时的平均速度是24千米/时12. （2023年邵阳）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同（1）求A，
13、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答解析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据题意，得=，解得x=120经检验，x=120是所列方
14、程的解当x=120时，x+30=150答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20a）台，根据题意，得150a+120（20a）2800，解得aa是整数，a14答：至少购进A型机器人14台13. （2023年山东威海7分）列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行
