1、第十四章 整式的乘法与因式分解专题14.3.1 提公因式法基础篇一、 单选题(共10小题)1(2023年福建省永春第二中学初二期中)如图,边长为a,b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为( )A15B30C60D78【答案】D【详解】解:根据题意得:a+b5,ab6,则a3b+ab3ab(a2+b2)ab(a+b)22ab6(5226)61378故选:D【名师点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力2把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果( )A8(7a-8b)(a
2、-b) B2(7a-8b)2C8(7a-8b)(b-a) D-2(7a-8b)【答案】C【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选:C.3已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为( )A.B.C.6+D.2+【答案】A【解析】根据题意先因式分解(提公因式)可得3a2b+3ab2=3ab(a+b),整体代入可得原式=32=6.故选:A.4(2023年张家港
3、市梁丰初级中学初一期中)若分解因式2x2mx15(x5)(2x3),则( )Am7 Bm7 Cm13 Dm13【答案】C【解析】(x5)(2x3)= 2x213x+15,m=13故选C5如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy(x2-y2+xy),那么M等于( )A4xy3+4x2y2 B4xy3-4x2y2 C-4xy3+4x2y2 D-4xy3-4x2y2【答案】B【详解】解:4xy(x2-y2+xy)=4x3y-4xy3+4x2y2=4x3y-(4xy3-4x2y2)=4x3y-M,M=4xy3-4x2y2故选:B【名师点睛】本题考查了因式分解-提公因式法提公因式法基本步骤:(1)
4、找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同6(2023年广东深圳中学初二期中)把多项式(m+1)(m1)+(m+1)提取公因式m+1后,余下的部分是()Am+1Bm1CmD2 m+1【答案】C【详解】(m+1)(m1)+(m+1)(m+1)(m1+1)m(m+1),故选C【名师点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因
5、式,正确提取公因式是解题关键7若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式,则mn的值为( )A1BCD6【答案】C【详解】解:(x-2)(x+3)=x2+x-6, x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式, m=1,n=-6, mn=1(-6)=-6, 故选:C【名师点睛】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解的定义,能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解8已知多项式3x-mx+n分解因是的结果为(3x+2)(x-1),则m,n的值分别为( )Am=1, n=2 Bm=-1,n=2Cm=2,n=2 Dm=2
6、, n=2【答案】A【解析】(3x+2)(x-1)=3x2-x-2,m=1,n=-2故选A.9(2023年北京北师大实验中学初二期中)下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )A.B.C.D.【答案】C【详解】A. 右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;B. 右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;C. 是因式分解,故本选项正确;D. 右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;故选:C.【名师点睛】考查因式分解的定义,熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.10下列各式变形中,是因式分解的是()A.a22ab+b21=(a
7、b)21B.x41=(x2+1)(x+1)(x1)C.(x+2)(x2)=x24D.2x2+2x=2x2(1+)【答案】B【详解】A选项:它的结果不是乘积的形式,不是因式分解,故是错误的;B选项:x41=(x2+1)(x+1)(x1)结果是乘积形式,是因式分解,故是正确的;C选项:(x+2)(x2)=x24中结果不是乘积的形式,不是因式分解,故是错误的;D选项:2x2+2x=2x2(1+)结果不是整式乘积的形式,不是因式分解,故是错误的;故选:B.【名师点睛】考查了因式分解的定义,理解因式分解的定义(把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这
8、个多项式分解因式)是解题的关键。提升篇二、 填空题(共5小题)1若 ,那么 =_.【答案】0【详解】a2+a+1=0,a2001+a2000+a1999=a1999(a2+a+1)=0故答案为:0【名师点睛】本题考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键12若x2+mx-n能分解成(x-1)(x+4),则m=_,n=_【答案】3 4 【详解】解:由题意得:x2mxn(x1)(x4)x23x4,则m3,n4,故答案为:3;4【名师点睛】此题考查了因式分解十字相乘法,熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键13(2023年内蒙古中考真题)因式分解:_【答案】【详解】解:原式,故答案为:【名师
9、点睛】本题考查提公因式,熟练掌握运算法则是解题关键.14(2023年隆昌市知行中学初二期末)因式分解:_.【答案】(x+y)(x-y)【详解】原式=(x+y)(x+y-2y)=(x+y)(x-y)故答案为(x+y)(x-y)【名师点睛】此题考查了因式分解-提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键15(2023年北京市第一六一中学初二期中)若关于x的二次三项式因式分解为,则的值为_【答案】-1【解析】,.故答案为:.三、 解答题(共3小题)16请把下列各式分解因式(1)x(x-y)-y(y-x) (2)-12x3+12x2y-3xy2(3)(x+y)2+mx+my (4)a(x-a)(x
10、+y)2-b(x-a)2(x+y)(5)15(a-b)2-3y(b-a) (6)(a-3)2-(2a-6)(7)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p)【答案】(1)(x-y)(x+y);(2)-3x(2x-y)2;(3)(x+y)(x+y+m);(4)(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab);(5)3(a-b)(5ax-5bx+y);(6)(a-3)(a-5);(7)-2q(m+n)【解析】试题分析:(1)运用提取公因式法因式分解即可;(2)运用提取公因式法因式分解即可,注意先提取负号;(3)先分组,提公因式,再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可;(4)运用提取公因式法因式分解即
11、可,注意整体思想的应用;(5)根据a-b与b-a互为相反数,利用整体法提取公因式法因式分解即可;(6)运用提取公因式法因式分解即可;(7)运用提取公因式法因式分解即可,注意符号变化.试题解析:(1)x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)(2)-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2(3)(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)(4)a(x-a)(x+y)2b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)a(x+y)-b(x-a)=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)(5)15x(a-b)2-3
12、y(b-a)=15x(a-b)2+3y(a-b)=3(a-b)(5ax-5bx+y);(6)(a-3)2-(2a-6)=(a-3)2-2(a-3)=(a-3)(a-5);(7)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p)=(m+n)(p-q-q-p)=-2q(m+n)17试说明817-279-913必能被45整除.【答案】证明见解析.【解析】817-279-913 =(34)7-(33)9-(32)13 =328-327-326 =326(32-3-1) =3265=32445817-279-913能被45整除。18.已知ABC的三边长a,b,c,满足a-bc-ab+ac=0,求证:ABC为等腰三角形【答案】证明见解析.【解析】证明: a2-bc-ab+ac=0 (a-b)(a+c)=0 a,b为ABC三边 a+c0,则a-b=0,即a=bABC为等腰三角形7