1、 学生姓名性别年级初三学科数学授课教师上课时间第（ ）次课课时： 2 课时教学课题一元二次方程教学目标1. 认识一元二次方程2. 用配方法解一元二次方程3. 用公式法解一元二次方程4. 用因式分解法解一元二次方程5. 一元二次方程实际应用教学重点/难点1.一元二次方程的解法2.一元二次方程的应用课后作业附教案后提交时间 年 月 日 学科组长检查签名： 一元二次方程知识 典例（注意咯，下面可是黄金部分！） 【知识点】1. 一元二次方程的概念：一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该 方程式的一般形式是：ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a0），其中，ax是二
2、次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。2. 一元二次方程需要满足的条件 一元二次方程必须同时满足三个条件： 是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2。3. 一元二次方程的形式：（1） 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c是常数)的形式。（2） 配方式（3） 两根式4. 一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。注意：一元二次方程一定且最
3、多有两个解，但不一定有两个实数解。5. 一元二次方程的解（根）的判别式 利用一元二次方程的根的判别式（=）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程的判别式可以判断出： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。上述结论反过来也成立。6. 韦达定理 如果一个一元二次方程有两个实数根，那么他们满足，7. 解一元二次方程的方法 （1）配方法形如或的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成的形式，那么可得。 如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根。注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。降次的实质
4、是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。方法是根据平方根的意义开平方。 用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为一般形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 （2）公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出判别式=的值，判断根的情况；在=的前提下，把a、b、c的值代入公
5、式 进行计算，求出方程的根。 （3）因式分解法因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。【典型例题】考点一、一元二次方程的判别例1.下列式子，是一元二次方程的是 例2.方
6、程（1）m为何值时，此方程为一元二次方程？（2）m为何值时，此方程为一元一次方程？例3.方程是关于x的一元二次方程，求k的值变式练习1.下列方程中是一元二次方程的序号是 2. 已知，关于2的方程是一元二次方程，则 3. 当 时，方程不是关于X的一元二次方程。考点二、一元二次方程根的情况例1.已知x=2是一元二次方程的一个解，则的值是（）例2.一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（） A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定例3.若关于X的方程有实数根，则k的取值范围是 变式练习1. 当 时，方程有实数根2. 关于x的方程的根的情况是 3. 下列关于x的一元
7、二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（） A. B. C. D.4.不解方程，判别下列方程根的情况 考点三、配方法解一元二次方程例1.用配方法解一元二次方程（1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9（3） x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0例2.用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值例3.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A3 B-3 C3 D以上都不对例4.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-1变式练习1.把
8、方程x+3=4x配方，得（ ） A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=22.用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）A2 B-2 C-2+ D2-3. 不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数4. x2+6x+ =（x+ ）2； x25x+ =（x ）2；x2+ x+ =（x+ ）2； x29x+ =（x ）2考点四、用公式法解一元二次方程例1.指出方程中的，并求出的值。例2.用公式法解下列方程。 例3.在等腰三角形中，三边分别为，其中。若关于的方程有两个相等的实数根，求的
9、面积。例4.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。（1） 求的取值范围（2） 请选择一个的负整数值，并求出方程的根。例4.关于的方程有两个相等是实数根，问正数可以作为一个三角形的三边长么？如果可以，这个三角形是什么形状？例5.解方程变式练习1.用公式法解下列方程。 2. 关于的方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值。考点四、用因式分解法解一元二次方程例1.解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 （3）25y2-16=0 （4）x2-12x+36=0例2.解方程 例3.如果，请你写出的值。变式练习1. 用分解因式法解下列方程 考点五、判别式及韦达定理的综合运用例1.
10、已知，是一元二次方程的两个实数根，不解方程，求下列各式的值。（1）（2）（3）例2.若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值。例3.已知关于的一元二次方程有两个相等是实数根，求的值。例4.若关于的方程的一个根式，求另一个根及的值。例5.关于的方程有两个实数根。（1） 这两个实数根同号（2） 这两个实数根异号（3） 这两个实数根异号，且正的实数根的绝对值较大。例6.，其中是方程的根。变式练习1. 若关于的方程两根的平方和是，求的值。2. 已知方程的两根之差的平方是，求的值。3.关于的方程的两实数根之和等于两实数根的倒数，求的值。考点六、已知方程的解，求方程的表达式例1.已知x
11、=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A-3 B 3 C0 D0或3例2.观察下列方程，并回答问题：x2-1=0；x2+x-2=0；x2+2x-3=0；x2+3x-4=0；（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这列方程的根的一个共同特点例3.一元二次方程x22x0的某个根，也是一元二次方程x2(k+2)x+0的根，求k的值例4.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m求m，n的值1.已知x=1是一元二次方程3x2-6x+m=0的一个解，求m的值2.已知关于x的方程5x2-kx-10=0的一个根为-5，求它的另一个根及k的值3.已知关于x的方程x2+bx+a=0，有一个根是-a（a0），求a-b的值4.若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况考点七、先化简再求值例1.考点八、实际应用题例1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x
