1、第 45 卷第 3 期2023 年 5 月 湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)Vol.45No.3May 2023收稿日期:20220403基金项目:安徽高校自然科学研究重点项目(KJ2021A1095)和滁州学院科研启动基金(2018qd01)资助作者简介:邓新(1989),女,博士,讲师,E-mail:Tzdx0120 文章编号:10002375(2023)03039006END 样本下边缘频率插值密度估计的一致强相合性邓新1,2,田春雨3,丁洋1,葛梅梅1(1.滁州学院数学与金融学院,安徽 滁州 239000
2、;2.滁州市统计局,安徽 滁州 239000;3.中国电子科技集团公司第五十八研究所,江苏 南京 210000)摘要:在 END 样本下,研究一种由 Jones 等于 1998 年提出的非参数密度估计:边缘频率插值密度估计.本研究利用Bernstein 型不等式,在较弱的假设条件下,证明该估计的一致强相合性,并得到相应的收敛速度.所得结果推广和改进了文献已有结果.关键词:一致强相合性;END 样本;边缘频率插值密度估计中图分类号:O211.4文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.042著录信息:邓新,田春雨,丁洋,等.END 样本下边缘频率插值
3、密度估计的一致强相合性J.湖北大学学报(自然科学版),2023,45(3):390-395.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.042.DENG X,TIAN C Y,DING Y,et al.The uniformly strong consistency of edge frequency polygons density estimator for END samplesJ.Journal of Hubei University(Natural Science),2023,45(3):390-395.DOI:10.3969/j.issn.1000-2
4、375.2022.00.042.The uniformly strong consistency of edge frequency polygons density estimator for END samplesDENG Xin1,2,TIAN Chunyu3,DING Yang1,GE Meimei1(1.School of Mathematics and Finance,Chuzhou University,Chuzhou 239000,China;2.Statistics Bureau of Chuzhou,Chuzhou 239000,China;3.China Electron
5、ics Technology Group Corporation No.58 Research Institute,Nanjing 210000,China)Abstract:The edge frequency polygon proposed by Jones et al in 1998 was considered as a nonparametric estimator for END samples.By the Bernstein type inequality,we proved the uniformly strong consistency of the estimator
6、and obtained the corresponding rate under some mild conditions.The results extend and improve some existing ones in the literature.Key words:uniformly strong consistency;END samples;edge frequency polygons density estimator 0引言设总体 X 具有密度函数 f(x),其中 X1,X2,Xn是来自该总体 X 的样本.在实数轴 R 上等间距分割,x-2 x-1 x0 x1 x2,
7、记第 k 个区间为 Ik=(k-1/2)bn,(k+1/2)bn),其中 bn是窗宽的长度,并且 bn 0,n .对任意给定的 x R,存在 k0=k0(x),使得 x Ik0.考虑 3 个相邻区间 Ik-1=(k-1-1/2)bn,(k-1+1/2)bn),Ik0=(k0-1/2)bn,(k0+1/2)bn),Ik1=(k1-1/2)bn,(k1+第 3 期邓新,等:END 样本下边缘频率插值密度估计的一致强相合性391 1/2)bn),其中 k-1=k0-1,k1=k0+1.记 vk-1,vk0和 vk1分别为落在 Ik-1,Ik0和 Ik1这 3 个区间里观察点的个数,则密度函数在区间
8、Ik-1,Ik0和 Ik1上的直方图估计分别为fki=vkin-1bn-1,i=-1,0,1.从而当 x (k0-1/2)bn,(k0+1/2)bn)时,密度函数 f(x)的边缘频率插值密度估计为f(x)=12+k0-xbn()fk0-1+fk02+12-k0+xbn()fk0+fk0+12(1)定义 Yi,k=I(k-1/2)bn Xi x1,X2 x2,Xn xn)Mni=1P(Xi xi)和P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)Mni=1P(Xi xi),称随机变量序列 Xn,n 1 是 END 的,如果它的每个有限子列都是 END 的.END 变量的概念由 Liu7于 2009 年提
9、出,当 M=1 时,END 变量就变成 NOD(negatively orthant dependent)变量.END 变量是一类包含独立变量、NA 变量、NOD 变量以及一些正相依变量在内的非常广泛的相依变量.自该概念被提出,END 变量引起了很多概率统计学家的关注,并对其进行了相关研究.例如,Liu8研究了 END 变量下中偏差的充分必要条件;Shen9得到了 END 变量的一些概率不等式;Wu-Guan10,Wang 等11,Qiu 等12和 Wu 等13研究了 END 变量加权和或 END 阵列加权和的完全收敛性,等等.在本文中,C 是一个正常数,并且不同位置的 C 可能代表不同的值,
10、I(A)表示事件 A 的示性函数,x 表示 x 的整数部分.另外,无特殊说明,本文中的极限条件为 n .1假设条件及主要引理本文中,给出如下假设条件.A1)Xi,1 i n 为一 END 随机变量序列,并且具有相同的密度函数 f(x);A2)窗宽 bn 0;A3)n是一正常数序列,并且满足n 0,nb2n2n/logn .为证明主要结果,需要下面的重要引理.引理 18设随机变量 X1,X2,Xn是 END 的,f1,f2,fn都是非降(或非增)函数,则随机变量f1(X1),f2(X2),fn(Xn)是 END 的.引理 214若 Xn,n 1 是一均值为 0 的 END 随机变量序列,并且满足
11、Xn b a.s.,n 1,其中 b392 湖北大学学报(自然科学版)第 45 卷是一个正常数.记 B2n=ni=1EX2i,则对任意的 0,有Pni=1Xi()2 Mexp-22 2B2n+b().2主要结果及其证明定理 1若假设条件 A1)A3)成立,则对任意一个 R 上的紧集 D,有supxDf(x)-Ef(x)=o(n)a.s.(2)进一步地,若 f(x)在 R 上可导,且存在 M 0,使得f(x)M,则有supxDEf(x)-f(x)=O(bn)(3)从而,有supxDf(x)-f(x)=o(n)+O(bn)a.s.定理 1 的证明不失一般性,假设任意一个 R 上的紧集 D=-B,B
12、,B 为大于 0 的一个常数.令 Un,j=(j-1/2)bn,(j+1/2)bn),j=-rn,-(rn-1),(rn-1),rn,并且 rn=B/bn+1.注意到(rn+1/2)bn=(B/bn+3/2)bn(B/bn+1/2)bn=B+bn/2 B,所以rnj=-rnUn,j=-(rn+1/2)bn,(rn+1/2)bn)-B,B,则对任意的 0,有P supxDf(x)-Ef(x)n()Pmax-rnjrnsupxUn,jf(x)-Ef(x)n()rnj=-rnPsupxUn,jf(x)-Ef(x)n()(4)对任意的 x Un,j,有 0 12+j-xbn 1,0 12-j+xbn
13、n()=PsupxUn,j1212+j-xbn()fj-1-Efj-1()+12fj-Efj()+1212-j+xbn()fj+1-Efj+1()n()Pfj-1-Efj-123n()+Pfj-Efj23n()+Pfj+1-Efj+123n()(5)对于给定的 j,令i=I(j-1/2)bn Xi(j+1/2)bn)-EI(j-1/2)bn Xi23n()=Pni=1i23nbnn()Pni=1i113nbnn()+Pni=1i213nbnn()第 3 期邓新,等:END 样本下边缘频率插值密度估计的一致强相合性393 4 Mexp-nbnn/3()22 24n+2nbnn/3()=4 Mex
14、p-n2b2n2n144+12bnn.结合 bn 0,n 0 和 nb2n2n/logn ,得到对任意给定的 q 0 和充分大的 n,有Pfj-Efj23n()Cexp(-qlogn)Cn-q(6)类似地,可得Pfj-1-Efj-123n()Cexp(-qlogn)Cn-q(7)和Pfj+1-Efj+123n()Cexp(-qlogn)Cn-q(8)综合(5)(8)式,有PsupxUn,jf(x)-Ef(x)n()Cn-q.在上式中令 q=3,结合(4)式和 nbn ,得P supxDf(x)-Ef(x)n()Crnn-3 Cb-1nn-3 Cn-2,从而n=1P supxDf(x)-Ef(x
15、)n().再由 Borel-Cantelli 引理,易得supxDf(x)-Ef(x)=o(n)a.s.下证(3)式.当 x Un,j时,令i(x)=1212+j-xbn()I(j-3/2)bn Xi(j-1/2)bn)+12I(j-1/2)bn Xi(j+1/2)bn)+12(12-j+xbn)I(j+1/2)bn Xi(j+3/2)bn),则f(x)=1nbnni=1i(x).利用 F(j+1/2)bn)和 F(j-1/2)bn)在 x Un,j点处的泰勒展开公式,得P(j-1/2)bn Xi(j+1/2)bn)=F(j+1/2)bn)-F(j-1/2)bn)=F(x)+f(x)(j+1/
16、2)bn-x)+O(j+1/2)bn-x)2)-F(x)+f(x)(j-1/2)bn-x)+O(j-1/2)bn-x)2)=f(x)bn+O(b2n).类似地,可得P(j-3/2)bn Xi(j-1/2)bn)=f(x)bn+O(b2n)和P(j+1/2)bn Xi 0,有supx-nT,nTf(x)-Ef(x)=o(n)a.s.(9)进一步地,若 f(x)在 R 上可导,存在 M 0,使得f(x)M,并且 E X12/T 0.定义 Un,j=(j-1/2)bn,(j+1/2)bn),j=-rn,-(rn-1),(rn-1),rn,并且 rn=nT/bn+1.则对任意的 0,有Psupx-nT,nTf(x)-Ef(x)n()Pmax-rnjrnsupxUn,jf(x)-Ef(x)n()rnj=-rnPsupxUn,jf(x)-Ef(x)n().根据定理 1 的证明,可推导得到(9)式和supx-nT,nTEf(x)-f(x)=O(bn)(11)成立.下面证明(10)式.由 An=-,-nT()nT,+()和 E X12/T 0,有n=1P supxAnf(x)n-1()n=1P sup
