1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数满足，则（ ）ABCD2已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）A，B，C，D，3函数在上的图象大致为( )ABCD4若复数是纯虚数，则( )A
2、3B5CD5已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）ABCD6某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )ABCD7已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8若函数的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2,则函数的图像可能是（ ）ABCD9设Py |yx21，xR，Qy |y2x，xR，则AP QBQ PCQDQ 10设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）ABCD11设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）ABCD12已知,则
3、()ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为_14某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有_种15已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为_16若变量，满足约束条件则的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.18（12分）在平面直角坐标系中，直线的
4、参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.19（12分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.20（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无
5、盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.21（12分）ABC的内角的对边分别为,已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.22（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小
6、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】根据复数运算，即可容易求得结果.【题目详解】.故选：D.【答案点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.2、D【答案解析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【题目详解】从题设中提供的图像可以看出，故得，故选：D【答案点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.3、A【答案解析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【题目详解】解：依题意，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；而，排除B；，排除D.故选：.【答案点睛】本题考查函数图象的识别，函
7、数的奇偶性的应用，属于基础题.4、C【答案解析】先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【题目详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【答案点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.5、C【答案解析】根据题目中的基底定义求解.【题目详解】因为，所以能作为集合的基底，故选：C【答案点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6、A【答案解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算【题目详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱
8、垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，且平面，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积故选：A【答案点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键7、B【答案解析】分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【题目详解】因为时，所以，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【答案点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8、B【答案解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排
9、除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定故选B9、C【答案解析】解：因为P =y|y=-x2+1，xR=y|y1，Q =y| y=2x，xR =y|y0,因此选C10、B【答案解析】设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；【题目详解】解：设，解得.故选：B【答案点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.11、B【答案解析】，故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到
10、图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12、B【答案解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【题目详解】，本题正确选项：【答案点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 2R，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=；故答案为：14、60【答案解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.15、
11、【答案解析】设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得16、7【答案解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【题目详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.故答案为：.【答案点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【答案解析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用
12、单调性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.【题目详解】（1）设，所以函数在上单调递增，又因为和，则，所以得解得，即， 故的取值范围为；（2） 由于恒成立，恒成立，设， 则， 令， 则，所以在区间上单调递增， 所以，根据条件，只要 ，所以.【答案点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.18、（1），；（2）.【答案解析】（1）在直线的参数方程中消去参
13、数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线截圆所得弦长，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【题目详解】（1）由得，故直线的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲线的直角坐标方程是；（2）因为曲线的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则弦长.又到直线的距离为，所以.【答案点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19、（1），；（2）当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大.【答案解析】（1）由已知求得，求得三角形的面积，再
14、由已知得到平面，代入三棱锥体积公式求的值；（2）由题意知，在等腰三角形中，则，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求【题目详解】解：（1）由题意，为等腰直角三角形，又，恰好是该零件的盖，则，由图甲知，则在图乙中，又，平面，平面，；（2）由题意知，在等腰三角形中，则，令，可得：当时，当，时，当时，有最大值由（1）知，平面，该三棱锥容积的最大值为，且当时，取得最大值，无盖三棱锥容器的容积最大答：当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大【答案点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题20、（1）（2）当时，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最
