1、第一章矢量分析第一章矢量分析+十十+十十十“十“十“十“十“十十“十“十“十中中中中中中中十“十十十十十“十“十十十十十十十十十电场和磁场都是矢量场，因此在研究电磁场与电磁波之前，我们先介绍分析矢量场和标量场问题的数学工具一矢量分析。掌握矢量分析将为学习电磁场与电磁波内容莫定必要的数学基础。本章重点讨论如下内容：标量场的方向导数和梯度矢量场的通量和散度矢量场的环量和旋度亥姆霍兹定理1.1场的概念1.1.1矢性函数数学上，实数域内任一代数量都可以称为标量，因为它只能代表该代数量的大小在物理学中，任意一个代数量一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的标量，即所谓的物理量，如电压u、电流i、面积
2、S、体积V等等。在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小（或称为模）又有方向特性的量，故称为实数矢量。实数矢量可用黑体A表示，而白体A表示A的大小（即A的模）。若用几何图形表示，实数矢量是从原点出发的一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一日被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度等。设t是一数性变量，A(t)为变矢，对
3、于某一区间Ga,b们内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A(t)为数性变量t的矢性函数。记为A=A(t)而Ga,b们为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为A(t)、A,(t)、A.(t),则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为第一章矢量分析解：点M的坐标是x。=1,y=0,=1,则该点的数量场的场值为p=(x0+y0)2-0=0其等值面方程为(x十y)2一之=0或之=(x十y)2例1-2求矢量场A=xy2e,十x2ye,十y2e:的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为d=Ey?x2y yz从而有dxy?dyxydx=d
4、zry?y解之即得矢量方程：1x2-y2=C2=CIIC,和C2是积分常数。1.2标量场的方向导数和梯度1.2.1标量场的方向导数在标量场中，标量P=(M)的分布情况可以由等值面或等值线来描述，但这只能大致地了解标量在场中的整体分布情况。而要详细地研究标量场，还必须对它的局部状态进行深入分析，即要考察标量在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。设M,是标量场P=g(M)中的一个已知点，从M。出发沿某一方向引入一条射线1，在1上M。点的邻近取一点M,其长度MM=P,如图1-2所示。若当M。点趋于M点时（即长度趋于零时），即M2=(M)-g(M)M的极限存在，则称此极限为函数g(M)在点M。处沿I方向图】一2方向导数的定义的方向导数，记为器以，即ag.=lim(M)-(M.)alM(1-2)M。+M由上式可见，方向导数是函数p=(M)在点M,处沿1方向对距离的变化率。当
