1、书书书新编高等院校公共基础课系列规划教材线性代数与概率统计(第 2 版)主编林益赵一男叶年斌参编王济华何涛叶提芳龙松华中科技大学出版社中国武汉内 容 简 介本书内容包括 3 篇，分别是线性代数、概率论与数理统计、积分变换 第 1 篇包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组等内容;第 2 篇包括概率论的基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、样本及抽样分布、参数估计和假设检验等内容;第 3 篇包括拉普拉斯变换和傅里叶变换带“*”的章节，供不同专业选学 每节后配有习题，并在书后附有习题答案本书适用于理工类或经管类的大专学生，也可供对数学要求不高的理工类或经管类本科生使用图书在版
2、编目(CIP)数据线性代数与概率统计(第 2 版)/林益赵一男叶年斌主编 武汉:华中科技大学出版社，2012 8ISBN 978-7-5609-4718-1.线.林赵叶.线性代数-高等学校-教材概率论-高等学校-教材数理统计-高等学校-教材.O151 2O21中国版本图书馆 CIP 数据核字(2008)第 102155 号线性代数与概率统计(第 2 版)林益赵一男叶年斌主编责任编辑:史永霞封面设计:杨玲责任校对:李琴责任监印:张正林出版发行:华中科技大学出版社(中国武汉)武昌喻家山邮编:430074电话:(027)81321915录排:武汉市兴明图文有限公司印刷:武汉市籍缘印刷厂开本:787m
3、m 960mm1/16印张:12.75字数:279 千字版次:2012 年 8 月第 2 版第 4 次印刷定价:2300 元本书若有印装质量问题，请向出版社营销中心调换全国免费服务热线:400-6679-118竭诚为您服务版权所有侵权必究编委会成员名单(按拼音排序)毕重荣陈桂兴黄象鼎李德庆李中林廖超慧林益刘国钧孙清华汪福贵魏克让赵一男朱方生第 2 版前言本书自出版以来得到了广大读者的肯定，也得到了同行专家的热心指导 为提高教材的质量，我们进行了修订 本次主要修订以下内容:(1)更换了一些例题，使之更适应学生的实际与应用型人才培养的要求;(2)增加或删除了一些习题本书由林益(华中科技大学文华学院
4、)、赵一男(中国地质大学江城学院)、叶年斌(武昌工学院)主编，王济华(华中科技大学文华学院)、何涛(华中科技大学)、叶提芳(武昌工学院)、龙松(华中科技大学武昌分校)参编编者2012 年 6 月目录第 1 篇线 性 代 数第 1 章行列式1.1行列式的概念习题 1.11.2行列式的性质习题 1.21.3克莱姆法则习题 1.3综合练习一第 2 章矩阵及其运算2.1矩阵的概念习题 2.12.2矩阵的运算习题 2.2综合练习二第 3 章矩阵的初等变换与线性方程组3.1矩阵的初等变换习题 3.13.2矩阵的秩习题 3.23.3初等矩阵逆矩阵习题 3.33.4线性方程组习题 3.4*3.5线性代数应用实
5、例综合练习三2第 2 篇概率论与数理统计第 4 章概率论的基本概念4.1随机试验随机事件习题 4.14.2事件的概率习题 4.2*4.3条件概率独立性习题 4.3综合练习四第 5 章随机变量及其分布5.1随机变量习题 5.15.2离散型随机变量的概率分布习题 5.25.3连续型随机变量及其概率密度函数习题 5.3综合练习五第 6 章随机变量的数字特征6.1数学期望习题 6.16.2方差习题 6.26.3几种重要随机变量的数学期望及方差矩习题 6.36.4大数定律及中心极限定理习题 6.4综合练习六第 7 章样本及抽样分布7.1数理统计的基本概念7.2抽样分布综合练习七第 8 章参数估计8.1点
6、估计习题 8.138.2区间估计习题 8.2综合练习八第 9 章假设检验9.1假设检验的概念9.2关于正态总体的假设检验综合练习九第 3 篇积 分 变 换第 10 章拉普拉斯变换10.1拉普拉斯变换的概念习题 10.110.2拉普拉斯变换的性质习题 10.210.3拉普拉斯逆变换习题 10.310.4拉普拉斯变换的应用习题 10.4综合练习十第 11 章傅里叶变换11.1傅里叶变换的概念及单位脉冲函数习题 11.111.2傅里叶变换的性质习题 11.211.3傅里叶变换的应用综合练习十一附录 A希腊字母及常用数学公式附录 B常见分布表附录 C拉普拉斯变换简表习题参考答案参考文献书书书第篇线 性
7、 代 数线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生并形成的一门数学分支，是学习现代科学技术的重要理论基础，在自然科学和工程技术等领域中有着广泛的应用 在计算机技术飞速发展的今天，线性代数在理论和应用上的重要性愈显突出 本篇将介绍线性代数中最基本的内容：行列式、矩阵和线性方程组第章行列式行列式是由研究线性方程组而产生的，它是线性代数中的一个基本工具，在讨论许多问题时都要用到它 本章主要介绍行列式的概念、性质及计算方法，此外还要介绍利用克莱姆法则求解线性方程组 行列式的概念 二阶行列式用消元法解二元线性方程组 ，（）为消去未知数，用 与 分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得（）；类似
8、地，消去，得（）当 时，求得方程组（）的解为 ，（）式（）中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得到的 其中分母 是由方程组（）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（）中的位置，排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表 （）表达式 称为数表（）所确定的二阶行列式，并记作 （）数（，；，）称为行列式（）的元素元素 的第一个下标称为行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆如图所示，把 到 的实连线称为主对角线，到 的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差图利用二阶行列式
9、的概念，式（）中、的分子也可写成二阶行列式，即 ，若记 ，那么，式（）可写成 ，注意这里的分母是由方程组（）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），的分子是用常数项、替换中的系数、所得的二阶行列式，的分子是用常数项、替换中的系数、所得的二阶行列式例求解二元线性方程组，解由于（），（），因此，三阶行列式定义设有个数排成行列的数表 （）记 ，（）式（）称为数表（）所确定的三阶行列式上述定义表明：三阶行列式含项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号而成 其规律遵循图所示的对角线法则：图中的三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠以正号，
10、虚线上三元素的乘积冠以负号图例计算三阶行列式 解按对角线法则，有（）（）（）（）（）（）（）（）例求解方程 解方程左端的三阶行列式 ，由解得或对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面先介绍代数余子式的知识，然后引出阶行列式的概念 余子式、代数余子式在三阶行列式中，划去 所在的行和列的元素，余下的元素按原顺序构成的一个二阶行列式，称为 的余式子，记为 例如，分别为，的余子式令（）（，），称 为 的代数余子式 如：（），（），（），分别为，的代数余子式下面不加证明地给出一个重要定理定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和这个定理叫做行列式按行（
11、列）展开法则于是，三阶行列式也可定义为 （，）或（，）例如，按第行展开，有（），（），（），故 （）（）（）阶行列式定义设有个数，排成行列的数表 （）记 ，（）其中，为 的代数余子式（，），式（）称为数表（）所确定的阶行列式注意（）定义式（）也称为按任一行（，）展开的行列式定义，仿其也可给出按任一列（，）展开的行列式定义，并可证明，两者所定义的行列式有相同的值（）行列式还有其他的定义方法，读者可阅读其他相关资料例用定义计算行列式 解由三阶行列式的定义，按第行展开，得 习题 计算下列行列式：（）；（）；（）；（）求行列式 中元素的余子式和代数余子式 设 ，写出按第行的展开式，并求的值 已知四阶行
12、列式中第列元素依次为，它们对应的余子式依次为，求 行列式的性质按照定义，计算阶行列式需要计算个（）阶行列式，对高阶的行列式计算量较大、较麻烦 为了简化行列式的计算，下面不加证明地给出行列式的基本性质，利用这些性质可以达到简化计算的目的设 ，把的行与列互换，得到新的行列式，记为 ，称为的转置行列式 显然（）性质行列式与它的转置行列式相等，即例如，性质说明行列式的行和列具有同等地位，因而凡是对行具有的性质，对列也一样具有，反之亦然性质若行列式的第行（列）的每一个元素都可表示为两数之和，即 （，），则行列式可表示成两个行列式之和：或者说：若两个行列式中除第行之外，其余行对应相同，则两个行列式之和只对
13、第行对应元素相加，其余保持不变例如，性质用一个数乘行列式，等于将行列式的某一行（列）元素都乘以，即 也可以叙述为：若行列式某行（列）有公因子，则可把它提到行列式外面性质若互换行列式的任意两行（列），则行列式变号，即 ，行行，例如，以表示行列式的第行，以表示第列，交换，两行记作，交换，两列记作推论若行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零推论若行列式的两行（列）元素成比例，则此行列式等于零性质把行列式的第行（列）元素的倍加到第行（列）的对应元素上，行列式的值不变，即 行行例如，例计算行列式和行列式，其中称为下三角行列式，称为上三角行列式：（满足时，）；（满足时，）解对按第行展开得 ，特别地，
14、对角行列式 例计算行列式 解将第、行同时加到第行，得各行减去第行 例计算行列式（）解第、列加到第 列（）第、行减第 行（）（）（）例计算行列式 解 例计算 解法 上述解法中，先用了运算，其目的是把 换成，从而利用运算，即可把（，）变为如果不先作，则由于原式中，需用运算把变为，这样计算时就比较麻烦第二步把和写在一起，这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了解法保留，把第行其余元素变为，然后按第行展开：（）（）习题 用行列式性质计算下列行列式：（）；（）；（）；（）将下列行列式化为三角形行列式，并计算其值：（）；（）；（）计算行列式 解方程 克莱姆法则含有个未知数，的个线性方程的方程组 ，烅烄
15、烆，（）与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用阶行列式表示，即有如下法则克莱姆法则如果线性方程组（）的系数行列式不等于零，即 ，那么，方程组（）有唯一解，（）其中（，）是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即，例解线性方程组，烅烄烆解 ，于是得，撇开求解公式（），克莱姆法则可叙述为下面的重要定理定理如果线性方程组（）的系数行列式，则（）一定有解，且解是唯一的定理的逆否定理为：定理如果线性方程组（）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零线性方程组（）右端的常数项，不全为零时，线性方程组（）称为非齐次线性方程组；当，全为零时，线性方程组（）称为齐次线性方程组
16、对于齐次线性方程组 ，烅烄烆，（）一定是它的解，这个解称为齐次线性方程组（）的零解 如果一组不全为零的数是方程组（）的解，则它称为齐次线性方程组（）的非零解 齐次线性方程组（）一定有零解，但不一定有非零解把定理应用于齐次线性方程组（），可得如下定理定理如果齐次线性方程组（）的系数行列式，则齐次线性方程组（）没有非零解定理如果齐次线性方程组（）有非零解，则它的系数行列式必为零定理（或定理）说明系数行列式是齐次线性方程组有非零解的必要条件从后面的第章可知，系数行列式也是齐次线性方程组有非零解的充分条件，从而，齐次线性方程组（）有非零解例问取何值时，齐次线性方程组（），（），（）烅烄烆（）有非零解？解由定理可知，若齐次线性方程组（）有非零解，则方程组（）的系数行 列式 而 （）（）（）（）（）（）（）（），由，得、或不难验证，当、或时，齐次线性方程组（）确有非零解最后，请读者注意：克莱姆法则不仅指出了解的存在性，而且还具体给出了解的表达式；但用克莱姆法则解线性方程组时有两个前提条件，一是方程个数与未知数个数相等，二是系数行列式不等于零，这使得克莱姆法则在运用时有很大的局限性 我们将在后面进一
