1、“新工科建设”教学探索成果“十三五”规划教材“新工科建设”教学探索成果“十三五”规划教材 数 值 分 析 陈 欣 曲绍波 刘 芳 主 编 武芳芳 郭策安 张 琪 副主编 数值分析 II 内 容 简 介“数值分析”也叫“计算方法”，主要研究使用计算机解决数学问题的数值计算方法和理论.本书主要内容包括非线性方程（组）求根、解线性方程组的直接法和迭代法、曲线拟合和函数插值、数值微积分、常微分方程的数值解法、矩阵的特征值问题等.考虑到工科院校该课程教学的目的是满足工程和科研应用需要，因此本书更注重介绍工程应用的方法，弱化数学理论的推导证明，并且各章大多配有应用案例、上机实验和习题.本书提供配套电子课件
2、，登录华信教育资源网（）注册后可以免费下载.本书适合作为普通工科院校少学时本科生和研究生教材或教辅使用.未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容.版权所有，侵权必究.图书在版编目（CIP）数据 数值分析/陈欣等主编.北京：电子工业出版社，2018.8 ISBN 978-7-121-34560-9.数 .陈 .数值分析高等学校教材 .O241 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2018）第 135165 号 策划编辑：冉 哲 杨 寰 责任编辑：冉 哲 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16
3、印张：13 字数：370 千字 版 次：2018 年 8 月第 1 版 印 次：2018 年 8 月第 1 次印刷 定 价：35.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换.若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888.质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 .本书咨询方式：.目 录 III “数值分析”也叫“计算方法”，是大学理工类各专业普遍开设的一门课程，其主要研究使用计算机解决数学问题的数值计算方法和理论.数值计算是当今科学研究的基本手段之一，它是计算数学、计算机科学与其他工程学科结合的产物.随着工程技术突飞猛进
4、的发展，大量复杂计算问题也随之产生，使得数值计算显得尤为重要，这也推动了数值计算的发展.在多年的教学中，我们也曾采用过一些经典的数值分析教材，取得过一定的教学效果，但这类教材更关注理论与系统的完整性，自然无法全面考虑学生层次不同、学时数减少及工科教学目的改变等因素，毕竟普通工科院校在我国高校中占大多数.本书的写作目的是为普通工科高等院校提供一本易于理解的、有一定工程应用背景的，并且用实际问题引导的教材.本书的主要内容与其他“数值分析”教材基本一致，包括数值代数、数值逼近和微分方程数值解法的主要内容.在内容编写上，具有以下特点：在介绍数学理论时，力求简明扼要，在不失严谨性的前提下，弱化一些数学理
5、论和繁复的推导，省略部分定理的证明；在介绍数值方法时，尽量采用形象且通俗易懂的语言，借助图、表对算法、现象进行描述和分析，强调算法的实际应用和分析比较.本书在章节安排上，考虑了近几年普通工科院校本课程教学学时数减少的现状，并结合了知识的相关性.本书主要内容包括：第 1 章为绪论，第 24 章介绍了非线性方程（组）的数值解法和线性方程组的数值解法，第 5、6 章介绍了曲线拟合与函数插值和数值微积分，第 7 章介绍了常微分方程的数值解法，第 8 章介绍了矩阵的特征值问题.对学时较少的院校，这样的安排有利于教学内容的连贯性，方便编制教学计划.考虑到工科院校“数值分析”课程教学的目的是满足工程和科研应
6、用的需要，因此本书更注重介绍工程应用的方法，并且各章大多配有应用案例，指导学生对实际问题进行建模，并使用数值分析方法进行求解.此外，各章大多还附有上机实验和习题，以提高学生的实践能力.本书适合作为普通工科院校少学时本科生和研究生教材或教辅使用，并提供配套电子课件，登录华信教育资源网注册后可以免费下载.本书由沈阳工业大学和沈阳理工大学联合编写，几位作者都具有多年教学经验，且从未间断本科、研究生课程的数值分析教学工作，无论是对教学内容、体系、方法和安排，还是对工程教育的发展方向，以及工科学生的实际情况，均有着深刻的理解，这使得本书的写作前言 数值分析 IV 更具有针对性.我们期望通过本书使数值分析
7、内容更容易理解、学习和掌握，以促进课堂教学质量的提高.本书的出版得到了沈阳工业大学和诸多老师的支持与帮助，在此深表感谢！限于编者水平有限，教材中仍会存在不妥与错误之处，欢迎广大读者批评指正.作 者 2018 年 6 月 扫描二维码，获取习题解答 第 1 章 绪论1 1.1 引言1 1.2 误差2 1.2.1 误差来源与分类 2 1.2.2 绝对误差、相对误差与有效 数字 3 1.3 数值算法设计原则6 习题 1 9 第 2 章 非线性方程与方程组的数值 解法11 2.1 引言 11 2.2 二分法 12 2.3 简单迭代法 14 2.3.1 简单迭代法的构造原理 14 2.3.2 迭代法的收敛
8、性 16 2.3.3 局部收敛性与收敛阶 18 2.3.4 迭代法的加速技巧 20 2.4 牛顿法及其变形方法 22 2.4.1 牛顿法 22 2.4.2 牛顿法的变形 25 2.5 多项式方程求根法 30 2.6 非线性方程组的数值解法 31 2.7 应用案例：球体进水深度问题 33 习题 2 33 上机实验 35 第 3 章 解线性方程组的直接法 36 3.1 引言 36 3.2 高斯消去法 37 3.2.1 高斯消去法的基本思想 37 3.2.2 n 元线性方程组的高斯消去法 38 3.3 列主元高斯消去法 42 3.4 直接三角分解法及列主元三角 分解法 43 3.4.1 直接三角分解
9、法 43 3.4.2 列主元三角分解法 47 3.5 特殊矩阵的三角分解法 49 3.5.1 对称矩阵的三角分解法 49 3.5.2 对称正定矩阵的三角分解法 50 3.5.3 三对角方程组的追赶法 52 3.6 应用案例：食物营养配餐问题 54 习题 3 56 上机实验 57 第 4 章 解线性方程组的迭代法 58 4.1 预备知识 58 4.1.1 向量的数量积及其性质 58 4.1.2 向量范数和向量序列的极限 59 4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限 60 4.1.4 方程组的性态与矩阵的条件数 62 4.2 简单迭代法 64 4.2.1 简单迭代法的基本构造 64 4.2.2 迭代
10、法的收敛性 64 目录 数值分析 VI 4.2.3 迭代法收敛的误差估计 66 4.3 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 66 4.3.1 雅可比迭代法 67 4.3.2 高斯-赛德尔迭代法 69 4.3.3 雅可比迭代法和高斯-赛德尔 迭代法的收敛性 72 4.4 超松弛迭代法 74 4.5 共轭梯度法 76 4.5.1 等价的极值问题 77 4.5.2 最速下降法 78 4.5.3 共轭梯度法 79 4.6 应用案例：迭代法在求解偏微分 方程中的应用 82 习题 4 84 上机实验 86 第 5 章 曲线拟合与函数插值 88 5.1 曲线拟合的最小二乘法 88 5.1.1 最小二乘问题 8
11、8 5.1.2 最小二乘拟合多项式 90 5.2 插值问题的提出 94 5.3 拉格朗日插值 96 5.3.1 线性插值与二次插值 96 5.3.2 拉格朗日插值多项式 97 5.3.3 插值余项 99 5.4 差商与牛顿插值102 5.4.1 差商的定义与性质 102 5.4.2 牛顿插值公式 103 5.5 差分与等距节点插值105 5.5.1 差分的定义与性质 105 5.5.2 等距节点插值公式 106 5.6 埃尔米特插值108 5.7 分段低次多项式插值111 5.7.1 高次多项式插值的龙格现象 111 5.7.2 分段线性插值 112 5.7.3 分段三次埃尔米特插值 112
12、5.8 三次样条插值113 5.8.1 三次样条函数 113 5.8.2 三次样条插值函数的计算 114 5.9 应用案例：应用三次样条函数实现 曲线拟合 117 习题 5 119 上机实验121 第 6 章 数值微积分123 6.1 数值积分的基本概念123 6.1.1 求积公式与代数精度123 6.1.2 插值型求积公式124 6.2 牛顿-柯特斯公式125 6.2.1 牛顿-柯特斯系数及常用求积 公式125 6.2.2 误差估计128 6.2.3 收敛性与稳定性129 6.2.4 复化求积公式130 6.3 龙贝格算法132 6.3.1 变步长梯形求积算法132 6.3.2 理查森外推算
13、法134 6.3.3 龙贝格算法135 6.4 高斯型求积公式137 6.4.1 求积公式的最高代数精度137 6.4.2 正交多项式138 6.4.3 高斯型求积公式的一般理论140 6.4.4 高斯-勒让德求积公式141 6.5 数值微分143 6.5.1 中点方法143 6.5.2 插值型求导公式145 6.6 应用案例：卫星轨道长度计算问题146 习题 6 148 上机实验150 第 7 章 常微分方程的数值解法151 7.1 引言151 7.2 简单数值计算方法152 7.2.1 欧拉法152 7.2.2 隐式欧拉法153 7.2.3 梯形法154 7.2.4 改进欧拉法155 7.
14、3 龙格-库塔方法156 7.3.1 泰勒展开公式156 7.3.2 龙格-库塔方法的基本思想158 7.3.3 二阶龙格-库塔公式159 7.3.4 三阶龙格-库塔公式160 目 录 VII 7.3.5 四阶龙格-库塔公式 161 7.4 线性多步法162 7.4.1 线性多步法的一般公式 162 7.4.2 阿当姆斯显式与隐式公式 163 7.4.3 阿当姆斯预测-校正公式 166 7.5 一阶方程组与高阶方程167 7.5.1 一阶方程组 167 7.5.2 化高阶方程为一阶方程组 168 7.6 应用案例：闭电路中电流的计算 问题170 习题 7 172 上机实验 173 第 8 章
15、矩阵的特征值问题174 8.1 幂法和反幂法174 8.1.1 幂法 174 8.1.2 幂法的加速技巧 178 8.1.3 反幂法 180 8.2 对称矩阵的雅可比方法182 8.2.1 平面旋转矩阵182 8.2.2 雅可比方法184 8.3 QR 方法186 8.3.1 正交变换186 8.3.2 矩阵的 QR 分解188 8.3.3 QR 算法191 8.4 求实对称三对角矩阵特征值的 二分法192 8.4.1 特征多项式序列及其性质192 8.4.2 求特征值的二分法193 8.5 应用案例：互联网页面等级计算 问题195 习题 8 197 上机实验198 参考文献199 绪论 1.
16、1 引言 1.1 引言 数值分析也称为计算方法，它研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论，是计算数学的主体部分.它涉及科学计算中的常见问题，如函数的插值与逼近、数值积分与数值微分、线性和非线性方程的求解、矩阵特征值问题和微分方程的数值解法等.数学与科学技术一向有着密切的关系并相互影响，利用科学技术解决实际问题时通常都需要建立数学模型.但很多数学模型较为复杂，往往不易求出精确解，于是人们讨论问题的简化模型，求其解析解，而过于简化的模型又会导致所求的解不能满足精度要求.随着计算机科学与技术的飞速发展和计算数学理论的日益成熟，特别是具备超强计算能力的计算机系统的出现，为求解复杂的数学模型提供了强大的硬件保障.一批适合计算机求解并节省计算量的数值分析方法随之产生，并被广泛使用，成为科学计算的主要方法.目前，数值分析在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学、经济学等领域中有着广泛应用，已经成为与理论分析和科学实验并列的第三种科学研究方法和手段.用计算机求解数学问题，基本过程如下：用数值方法解决数学问题就是完成以下工作：如何把数学模型归结为数值问题，如何估计一个给定算法的精度或构造精度更
