1、投稿网址：年 第 卷 第 期，（）：科 学 技 术 与 工 程 引用格式：洪鹤鹏，杨起帆，戴源廷，等 车轮多边形情况下轮轨接触算法 科学技术与工程，（）：.，（）：.车轮多边形情况下轮轨接触算法洪鹤鹏，杨起帆，戴源廷，朱彬，宋天浩，祁阅（.北京市轨道交通运营管理有限公司，北京；.中国铁道科学研究院集团有限公司城市轨道交通中心，北京）摘 要 接触斑的法向应力分布是轮轨动力学分析和轮轨磨耗计算的基础。铁路车辆采用的磨耗型踏面出现多边形时，接触点处的轮轨横向曲率和纵向曲率都随接触位置的变化而变化，此时最常用的赫兹接触方法的精度难以保证。非赫兹方法的计算精度高，但其效率不能满足工程计算要求。应用非赫兹
2、方法分析了车轮多边形引起的轮轨纵向曲率变化对接触斑的影响，发现当车轮多边形波长大于 时，多边形对接触斑应力分布的影响可忽略不计。然后提出了改进的半赫兹方法，并对不同接触位置的接触斑形状和应力分布进行对比分析，结果表明：多边形波长大于 时，改进的半赫兹方法在与非赫兹方法的结果保持一致的同时，大大缩短了计算时间。关键词 铁路车辆；磨耗型踏面；车轮多边形；接触算法；半赫兹接触中图法分类号；文献标志码 收稿日期：；修订日期：基金项目：中国铁道科学研究院集团有限公司科研开发基金（）；铁科院（北京）工程咨询有限公司科研开发基金（）第一作者：洪鹤鹏（），男，汉族，江西上饶人，工程师。研究方向：城市轨道车辆。
3、：。通信作者：杨起帆（），男，汉族，河北保定人，硕士，助理工程师。研究方向：城市轨道车辆。：。，（.，；.，），；铁路车辆车轮多边形化磨耗问题在近年来成为了应用部门和邻域学者们最为关注的问题之一。车轮多边形是指沿车轮圆周方向的周期性不平顺。中国铁路车辆近年来有大量的车轮多边形化问题被发现，其中高铁多为 阶的多边形，其通过频率集中在 范围附近，地铁车辆大多集中在 阶附近，通过频率约为 。目前高速列车的高阶多边形成因虽未达成定论，但其形成机理主要为不均匀磨耗已得到普遍认可。而磨耗问题不同于车辆稳定性，曲线通过性能等其他车辆动力学问题，要得到令人满意的磨耗计算精度，高精度的接触斑内应力分布的求解必不
4、可少。目前铁路车辆系统动力学中最常用的轮轨接触法向模型为赫兹接触模型。赫兹接触模型中的轮轨法向应力分布是解析解，计算速度快。在其接触上衍生出来的切向方法如 简化法、沈氏理论等在轮轨接触力合力方面有着令人满意的工程应用效果。然而赫兹接触有着较强的假设，在赫兹接触中，车轮和轨道都被视为椭球体，这意味着车轮和轨道的横向和纵向相对曲率在接触点附近保持不变。但是铁路车辆为了减小车轮磨耗量，踏面横向剖面被设计成多段圆弧或者高次曲线，这样车轮踏面的横向曲率将会随着横向坐标的变化而投稿网址：产生较大的变化。而且当车轮产生多边形后，车轮的纵向也不再是曲率不变的圆弧。在这种情况下，真实的接触斑为非椭圆形，应力也将
5、不再是椭球分布，赫兹接触方法计算得到的结果将产生较大的误差。根据赫兹接触理论，主曲率变化越小，该方向上的压应力分布就越接近椭圆形。对多边形车轮而言，多边形的波长越长，多边形对于接触斑在纵向上的波动性影响就越小，当车轮多边形波长超过一定长度，纵向曲率的变化就可以被忽略。为了定量地确定多边形波长对接触斑压应力的影响，现应用非赫兹接触方法计算不同波长多边形车轮的法向压力分布，确定需要考虑车轮踏面纵向曲率变化的多边形范围。然后对所改进的半赫兹接触算法与非赫兹和赫兹方法结果进行对比，结果表明半赫兹算法在计算多边形车轮接触时能兼顾计算精度与计算速度。车轮多边形条件下接触斑分析.非赫兹接触算法非赫兹接触算法
6、的理论基础为物体表面变形与集中力的关系。假设车轮和轨道的弹性模量和泊松比相同，将两物体表面离散化之后，该关系适用于每一个接触单元，表达式为，（）式（）中：为车轮或轨道表面法向的弹性变形；和 为接触单元的编号；，为单元 对单元 的弹性系数；为作用在单元 上的压应力。两物体在接触时满足如下条件。当点（，）（接触斑）时，有（，）（，）|（）当点（，）时，有（，）（）可得，在接触斑内单元 的弹性变形与应力关系为，（）（）弹性系数，的表达式为，（）（）（）式中：变量、分别为两接触体的法向间隙，相对接近量以及法向载荷。以上方程无法直接求解，因为两物体的相对接近量无法实现确定。所以需要假设一个接近量，代入式
7、（）和式（）以及式（）中第 式。计算出方向应力分布 后检查该结果是否在误差允许范围内满足式（）和式（）的接触范围控制条件。关于非赫兹方法的具体计算步骤和结果验证可参考文献。.结果分析随着车轮踏面沿周向周期性不平顺（多边形）的波长增加，接触斑范围内的纵向曲率变化越来越小，不平顺对接触斑的影响也越来越小。为了定量地研究不同波长车轮多边形对接触斑形状的影响，应用非赫兹方法对典型的高铁踏面 型踏面和 型钢轨进行了分析。图 展示了在没有纵向不平顺时的接触斑压应力分布，为了展示磨耗型踏面接触斑的非赫兹特性，以右轮向左横移 时的接触斑作为算例（法向力 为 ，车轮横移量为 ，离散网格步长为.）。在该分析中，为
8、了简化计算，忽略了整条轮对的几何运动姿态，仅考虑右轮右轨接触情况。图 没有纵向不平顺时 踏面和 钢轨接触斑.对车轮依次施加初始波长为 并以 为增量的简谐不平顺，来研究车轮多边形波长对接触斑的影响。接触斑计算结果如图 所示。由图（）可以看出，当车轮多边形波长与接触斑的大小接近的时候，接触应力在纵向上随着呈现出波动性分布，最大接触应力也大于图 中没有多边形时的最大接触应力，此时接触斑的轮廓与应力分布均与图 呈现出明显的区别。随着多边形的波科 学 技 术 与 工 程 ，（）投稿网址：图 接触斑应力分布随着多边形波长增加的变化情况.长逐渐增大，其对接触斑的影响越来越小图（）图（）。当多边形波长增加到，
9、此时的接触斑图（）与纯圆车轮的接触斑（图）已无明显差别。为确定在计算接触斑时需要被考虑的多边形波长范围，提出最大法向应力的相对差来作为评价指标。假设当考虑多边形时接触斑的最大法向力与忽略多边形的影响时的最大法向力相差小于 时，车轮多边形对接触斑的影响可以忽略不计。表 列出了图 中算例的最大法向力的相对差。与图 的结论类似，总体上接触斑的最大法向应力相对差随着多边形波长的增加而减小。在波长为 时，虽 然 最 大 法 向 力 的 相 对 差 为.，但结合图（），接触斑的形状于纯圆车轮接触斑的形状有较大差别。由此可以看出，当车轮踏面周向不平顺（多边形）波长大于 时，该不平顺对接触斑应力分布的影响可以
10、忽略不计。改进的半赫兹方法及验证非赫兹方法虽然能准确地计算任意形状的轮轨接触斑，但是其计算效率太低。表 计算的 个接触斑算例在.处理器的电脑上以 作为编程平台，每个接触斑计算平均耗时.。这样的计算效率显然不能满足长时间的车辆系统动力学或者磨耗分析的要求。当车轮周向周期不平顺的波长大于 时，其周向曲率变化对接触斑的影响可以忽略不计。车轮多边形波长大主要集中在 范围，该值远大于 。因此不需要考虑由多边形引起的纵向曲率变化对接触斑的影响。为了兼顾轮轨横向曲率变化对接触斑的影响的同时，又能够有效地缩短计算时间，半赫兹方法表 不同波长车轮多边形下接触斑最大法向力与纯圆车轮接触斑最大法向力的相对差 波长
11、相对差 波长 相对差.，（）洪鹤鹏，等：车轮多边形情况下轮轨接触算法投稿网址：被提了出来。将接触斑沿纵向分割成若干等宽且足够窄的条带，那么每个条带上的应力分布在纵向呈椭圆分布。由于条带足够窄，条带内应力在横向可以被看作是均匀分布的。整体来看，应力在横向随着横向曲率的变化而呈现出非椭圆分布。这便是半赫兹方法的核心思想。由于该方法在接触斑每个条带内应用了解析法（赫兹方法），横向采用类似与非赫兹的数值方法，所以其在纵向曲率不变时，能在保证计算精度的情况下使计算速度相较于非赫兹方法有了质的提升。在半赫兹理论上做出改进使其具有更好的精度，其过程如下。将车轮和钢轨的表面沿纵向离散成若干条带。在每个条带中横
12、向和纵向曲率都为常熟，因此赫兹方法能适用于每一个独立的条带。每个条带有自己独立的局部赫兹参数。假设物体接触时未发生弹性变形而是刚性渗透，接触斑的形状由该渗透量下两物体表面的相交平面定义。所有条带的最大渗透量用 表示，表达式为 （）（）式（）中：、均为赫兹值参数，其值根据接触体表面的横向相对曲率 和纵向相对曲率 查表来确定。详细信息可参考赫兹接触理论。此时第 个条带的渗透量为 （，）（）式（）中：为车轮或轨道的轮廓线坐标，下标 或 分别代表车轮和轨道；为条带的坐标。接触斑的横向由 确定。如果，则条带 在接触斑内，反之。条带 的纵向长度?由式（）确定。?（）接触斑内法向应力 在条带 上沿纵向呈椭圆
13、分布，表达式为（）?()?|（）式（）中：、分别为弹性模量和泊松比；为纵坐标；为该条带内的局部赫兹参数，可由赫兹理论求得。由于渗透量 仅由初始接触点的赫兹参数计算得到而没有考虑接触斑内所有条带的贡献，因此求得的法向力分布（）的积分可能会与施加在接触体上的法向力 有所差别。在原有的半赫兹方法基础上定义了渗透补偿系数，根据该系数将式（）和式（）代回式（）迭代计算，直到 与 的误差足够小。，（）（，）（）以上即为改进的半赫兹接触算法的主要过程。文献和文献对该改进半赫兹法的具体计算步骤做了详细论述，并对计算结果的精度进行了验证。为评估半赫兹算法的计算精度与效率，选取 个接触接触位置，分析对比了赫兹、半
14、赫兹以及非赫兹方法的接触斑形状以及接触应力分布，如图 所示。个接触位置分别为典型的 种接触状态：车轮横移为零时接触斑类似椭圆形；车轮横移 时接触斑为明显的非椭圆；车轮横移为 时为两点接触。图 不同轮轨接触位置处的接触斑.车轮横移 时，非赫兹和半赫兹方法的接触斑与赫兹方法的结果在形状和横向接触范围上都有明显的差别。出现该差别的原因是，轮轨在该科 学 技 术 与 工 程 ，（）投稿网址：接触位置下，接触点附近的横向相对曲率发生了明显的变化，而赫兹方法假设接触区域远小于接触体的尺寸，即不计接触区附近的曲率变化。在车轮横向位移为 时，轮轨接触几何能较好地满足赫兹条件三种接触算法均得到相似的接触斑。当轮
15、对继续向右运动横移为 时，轮轨发生了两点接触。此时非赫兹和半赫兹方法的结果能很好地保持一致，而赫兹方法的接触斑表现出了巨大的误差。在以上实例中，半赫兹算法计算一个接触斑的平均耗时仅为.，比非赫兹方法耗时小了两个图 不同轮轨接触位置处的接触斑内应力分布.数量级。由图 可知，种方法在相应接触位置的应力分布的结算结果与接触斑的计算结果规律相似。在不同位置改进的半赫兹方法都能很好地与非赫兹方法相互吻合，而赫兹方法的精度在不同接触位置有明显差别。由此可见，改进的半赫兹方法在计算纵向波长大于 的轮轨接触时能很好地兼顾计算精度和速度。结论为研究适用于车轮多边形化情况下的轮轨接触算法，首先根据非赫兹方法编程计
16、算了不同车轮多边形波长下接触斑的形状和应力分布变化。然后对半赫兹理论进行改进，在不同轮轨横移位置对非赫兹、改进的半赫兹方法和赫兹方法的接触斑和应力分布计算结果进行对比分析。得出如下结论。（）磨耗型踏面在有多边形存在的情况下，接触斑内法向应力在横向和纵向都不再呈椭圆分布。纵向的应力分布波动随着多边形波长的增加而减小。当多边形波长大于 时，多边形对接触斑的影响可以忽略不计。（）改进的半赫兹接触方法考虑了轮轨横向相对曲率的变化，忽略了纵向相对曲率的变化。当多边形波长大于 时，半赫兹法在接触斑轮廓和应力分布上能得到与非赫兹法非常吻合的结果。且改进的半赫兹法的计算效率很高，同等情况下计算时间远小于非赫兹法。（）由于磨耗型踏面的横向曲率的变化特性，赫兹法精度不稳定。赫兹法与非赫兹法的计算结果随着接触位置的变化而发生偏差。由此可见，在研究铁路车辆多边形体条件下的轮轨接触问题时，改进的半赫兹方法对车轮不平顺波长大于 的情况其有明显的优势。参考文献 ，：，：，（）：.牛岩，田志鹏，马贺，等 高速列车车轮与曲尖轨接触分析 科学技术与工程，（）：，（）：.吴宗臻，王文斌 城市轨道交通钢轨波磨评价指标及打磨验
