1、第八章 物体的弹性 骨的力学性质 在研究刚体的运动时，我们忽略了在外 力作用下物体形状和大小的变化，从而引 入了刚体这一理想模型。实际上任何物体在外力 作用下其形状和大小都会发生变化，即产生一定 的形变。若形变不超过一定限度，当除去外力后，物体能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变；若形变超过一定限度，当除去外力后，物体不能 再恢复原状，这种形变称为塑性形变。研究物体 在力的作用下所产生的形变，不仅在工程上，而 且在生物医学上也有着重要意义。这一章主要讨 论物体的弹性形变及骨的力学性质。第一节 应力和应变 1.1 应力 设一粗细均匀、截面积为S的棒，在棒的两端施加 大小相等、方向相反的拉力F，如
2、图所示。在棒上 任取一截面BC，由于棒处于平衡状态，根据牛顿 第三定律，则被BC分开的两部分存在有相互作用，这种相互作用称为张力。对整个棒来说，张力是内 力，对被分开的部分来说，它又是外力，而且是作 用在整个横截面上的，其大小与所施加的拉力 F 相 等,在横截面上均匀分布。我们将横截面上的力与横 截面积的比称为应力，用 表示，即 =F/S S F F C B 当棒处于拉伸状态时，这一应力称为张应 力；当棒处于压缩状态时，这一应力称为 压应力。张应力和压应力都是垂直于横截 面的，因此又称正应力。应力的单位是N.m-2。设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加一与表面相切的作用力F，如图所示。由
3、于 物体 是处于平衡状态，所以底面也受到一与F大小相等、方向相反的切向力作用。任取一与底面平行的横截面，显然横截面上下两部分也受到与横截 F F x l0 面相切的且与 F 大小相 等的力的相互作用，这 种力是沿切向的内力。这种情况下单位截面上 的内力称为切应力，用 表示。若横截面 积为 S，则切应力 当一固定体放在静止的液体或气体中时，固体要 受到流体静压强的作用。不论固体表面的形状如 何，流体静压强总是垂直于固体表面的。这种压 强不仅作用于表面上，在固体内任一平面，都有 垂直于该面的压强作用。这种压强也是一种应力，是由于物体受到均匀压强作用而产生的。同样，当液体或气体的表面受到与其表面垂直
4、的压强作 用时，其内部任一想象平面上都有垂直该面的应 力作用。FS总之，应力是作用在物体内单位截面积上 的内力。应力反应了发生形变的物体内部 的紧张程度。5246001.2 1050 10FN mS对腱 7246001.2 100.5 10FN mS例1、人骨骼上的二头肌臂上部肌肉可以对相连的 骨骼施加约600N的力，设二头肌横截面积为50cm2。腱将肌肉下端联到肘关节下面的骨骼上，设腱的截 面积约0.5cm2。试求二头肌和腱的张应力。解：张应力是作用在单位面积上的内力，对二头 肌有：1.2 应 变 物体受到应力作用时，其长度、形状和 体积都要发生变化，这种变化与物体原来的 长度，形状或体积的
5、比称为应变。上面所讨论的每种应力都有与之相对应的应变。000lllll当棒受到压应力作用时，上式仍然成立，此时的 （1）张应变与压应变 有一原长为l0的棒的两端受到大小相等，方向相反 的作用力时，棒伸长到l，则棒的绝对伸长l=ll0。棒的绝对伸长与原来的比称为张应变，用表示，即：应变称为压应变。压应变是棒缩短的长度 与棒原长之比。我们可以用 角来表示由切应力引起的形变，称 为切应变，也叫做剪应变。在弹性限度内，角很 小，因此有tg,则切应变为：（2）切应变 一长方体在切应力的作用下形状发生变化，变为 斜的平行六面体。所有与底面平行的截面在切应 力作用下都要发生相对位移。设上下两面间的距 离为O
6、A=l0,两表面的相对位移为x=AA，则有：0AAxtgOAl0 xl（3）体应变 对应于流体静压强的应变，称为体应变。体应变 定义为物体的体积变化V与物体原来体积V0的比，用表示，即：0VV第二节 弹性模量 2.1 弹性与塑性 产生一定的变形所需要的应力决定了某种材料 在受力状态下的性质，因此常需要通过测定材料的 D O C B A 应力 应变 O 应力与应变曲线来研究材料的性质。不同 材料的应力 应变曲线不同。如图是某金 属材料进行拉伸实验得到的应力 应变曲 线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一 阶段由O点到A点为一直线。这一阶段应力不大，相应的应变也不大，应力与 应变成正比。A 点
7、称为比例 极限，在比例极限内应力与 应变成正比，这一规律称为 胡克定律，不同的材料其比 例系数不同。由A点到B 点，随着应力的增大，相应的应变有比较大的增加，这 时应力与应变不再成正比。但是由O 点至B 点之间 将引起形变的外力除去后，材料可沿原曲 线返回，即恢复原来的长度，形变消失。这表明，在OB范围内材料具有弹性，所以 将B点称为弹性极限。当应力超过B 点后，就是曲 线的第二阶段，如到达C点，这时除去外力后，应 变不会变为零，材料不会沿实线返回，而是沿虚线 返回，存在剩余形变 OO。超过C 点后，再增大外 力，应变随着有较大的增加，直到D点时材料发生 断裂。由B 点到D 点材料发生的不再是
8、弹性形变，而是塑性形变。材料断裂时的应力称为抗张强度或 极限强度。若对材料进行的是压缩实验，则断裂点 的应力称为材料的抗压强度。如果材料的断裂点D 离弹性极限B 较远，即材 料能产生较大的塑性形变，则说这种材料 具有塑性（或延性）；如果断裂点D 离弹 性极限点B 很远，则说这种材料具有脆性。2.2弹性模量 根据胡克定律，在弹性限度内，应力与应变 是成正比的。当材料受到正应力（张应力或正应力）作用 时，胡克定律的形式为：0FlYSl式中比例系数 Y 称为该材料的杨氏弹性模量或杨 氏模量。有些材料，比如人的骨骼，其在张应力 和压应力下对应的杨氏模量不相等。当材料受到切应力作用时，胡克定律的形 式为
9、：0FxGGSl式中比例系数 G 称为材料的切变弹性模量或刚性 模量。大多数材料的切变模量约是杨氏模量的1/2 到1/3。当物体的体积发生变化时，胡克定律的形式为：0FVBSV 式中比例系数B成为材料的体积弹性模量。由于 体变时压强增加，材料的体积缩小，V为定值，式中的负号保证了等式两边均为正值。体积弹性 模量的倒数称为压缩率，用K表示,即 01VVKFBS 式中F/S应是压强的变化量，用P表示，则上式可 表示成：011VKBVP 例2、一横截面积为1.5cm2的圆柱形的骨样品，在 其上端加上一质量为 10kg 的重物，则其长度缩小 了0.0065%。求骨样品的杨氏模量。解：506.5 10l
10、l压应力为 41.0 9.81.5 10FmgSS526.53 10 N m根据胡克定律 ，即Y，则有杨氏模量为 0FlYSl556.53 106.5 10Y1021.0 10 N m 第三节 形变势能 在弹性限度内，物体在外力的作用下 发生了弹性形变。在这一过程中，外力对 弹性物体做了功，外力所做的功以弹性势能的形式储存在弹性物体中，也就是说外力所做的功转变为弹性物体的形变势能。我们来讨论一长为l0、横截面积为S的均匀直棒在产生拉伸形变时的形变势能。设施加在棒上的拉力为F，棒被拉伸到 l（拉伸形变时横截面S的变化很小，可将其忽略），则棒的绝对伸长为 ll0.。根据胡克定律，有 00llFYS
11、l外力F将棒拉伸dl时作用的元功用dA表示，则 所以：00()YSFllldAFdl外力 F 将棒由l0拉长到 l 时作的总功应为上式的积 分：000()llYSAdAFdlll dll2001()2YSlll2012YSll对一定的材料来说，Y、l0、S均为常数，令 0YSklk称为弹性物体的力常数或劲度系数，则：212Ak l外力所作的功全部转变为棒的形变势能，用EP表 示形变势能，则有AEP，所以 212PEk l或 2001()2PlEYSll式中，为应变，Sl0为棒的体积。显然，是单位体积内的形变势能，称为形变 0ll201()2lYl势能密度，用P表示，即 201()2PlYl同理
12、，可以求出在切变或体变情况下的形变势能 密度，分别用G 和B表示，则可得 22011()22PxGGl201()2PVBV 根据上面的讨论可以看出，物体发生 弹性形变时，其形变势能密度为弹性模量 与应变平方的积的二分之一。对不同类型 的弹性形变，应该用该形变所对应的弹性模量。第四节 骨的力学性质 骨在人的生命活动中起着非常重要的作用，它的 主要功能是支持、运动及对各种器官的保护作用 等。人体具有206块骨，形态各异，但基本上可以分为 长骨、短骨、扁骨和不规则骨四种类型。骨的形 态及骨在人体上的分布是与功能相适应的，长骨 分布在四肢，比如股骨，肌肉通过肌腱和韧带附 着在骨上，骨系统加上肌肉支持着
13、人体，在肌肉 力的作用下人体通过骨关节产生运动；短 骨一般分布在负重、受压或运动复杂的部 位，如手的腕骨和脚的跗骨；扁骨呈板状，如肩胛骨和颅骨，颅骨围成的颅骨腔起保护大脑 和神经的作用，不同形态的骨，其力学性质是不 同的。骨是人体内最主要的承载组织，骨骼的变形、损伤或破坏与受力的方式有关。人体骨骼所受的 力虽然有多种形式，但可以分为四种基本形式，即拉伸与压缩、剪切、弯曲、扭转这四种形式称 为基本载荷。若骨骼同时受到两种或两种以上的 基本载荷作用，这种情况下骨骼受的力称为复合 4.1 骨的受力 载荷。复合载荷可视为两种或两种以上的 基本载荷复合而成。1、拉伸与压缩 拉伸与压缩载荷是施加于骨表面大
14、小相等、方向相反的载荷，例如人在作悬垂运动或举重时 四肢长骨就是受到这种载荷的作用。如图是人的 润湿长骨的轴向拉伸与压缩实验曲线，即应力与 应变曲线。拉伸曲线和压缩曲线形状相近，都有 O 拉伸 压缩 较长的直线段，在这一阶段应 力与应变成正比，服从胡克定 律，所以可以认骨骼具有弹性。但是拉伸和压缩时杨氏弹性模 量不同。此外，与一般金属材 料不同的是骨骼在不同的方向上会表现 出不同的力学特性，这种性质称为各向 异性。2、剪切 在与骨骼横截面平行的方向施加载荷，这种 载荷就是剪切，这时骨的横截面上的应力就是切 应力。人的骨骼所能承受的剪切载荷比拉伸和压 缩载荷低得多。3、扭转 当骨骼的两端受到与其
15、轴线相垂直的一对大 小相等、方向相反的力偶作用时，会使骨骼沿轴 线形成受扭转状态。这一对力偶产生的力矩，称 为扭矩，用M 表示。扭矩M 就是扭转载荷。骨骼 受到扭转载荷作用时，横截面承受切应力 作用，其分布如图。切应力的大小除与扭 矩M成正比外，还与点到轴线的距离成正 比，在轴线处切应力为零，越靠近边缘切应力越 M M A A A A 大，在边缘处的切应力最大。人的四肢长骨是中空的，这种 截面对抗扭来说合理截面，中 空处切应力为零，而在外缘切 应力较大处相应的载面尺寸较 大，增强了抗扭能力。4、弯曲 当骨骼受到使其轴线发生弯曲的载荷作用时，骨骼会发生弯曲形变。这种载荷可以是垂 直轴线的横向力，
16、也可以是包括骨骼轴线 在内的平面中的一对大小相等、方向相反 的力偶矩的作用。骨骼产生弯曲形变时，在轴线 处有一层骨没有产生应力和应变，称为中性层。见图，图中的轴线 OO表示中性层。图也给出了 骨骼受弯曲载荷作用时的应力分布，横截面上的应 M P M O O A A A A 力为正应力，应力的大小 与至中性层的距离成正比。在凸侧骨骼受拉伸作用，在凹侧骨骼受压缩作用。由于成人骨骼的抗拉伸能 力低于抗压缩能力，因此 在发生弯曲破坏时，断裂是从凸面开始，然后凹面才开始断裂。成人股骨受弯曲 载荷时的极限强度比拉伸和压缩时的极 限强度都大得多，所以骨骼有较好的抗弯性能。5、复合载荷 上面讨论的都是骨骼受单一载荷作用的情况。实际生活中骨骼只受一种载荷的情况很少，大多 是同时受到两种或两种以上载荷的作用，这种载 荷称复合载荷。左图表示了髋关节 受复合载荷作用的情况，股骨头往 往受到斜向压力的作用，用 P 表示 斜向压力。图中虚线是股骨头的轴 线，将 P 分解为与轴线平行和垂直 P P P 的两个分量P/和P。P/是压缩载荷，P 对股骨头施加一个力矩，使股骨头发生 弯曲，因此P是弯曲载荷。显然股骨头 所
