1、（）（，），非对称视角下的分形投资组合 策略研究：氺碁貢金和美版货严曹 广喜，柯志程张星宇（南京信息工程大学管理工程学院，南京 ；无锡学院，无锡；南京信息工程大学气象灾害预报预与 评估 协同侧新中心，南京 ）摘 要分形方法在 投 资组合 模型中的应用是近期投 资组合 领域的热点问题，用于弥 补传统投 资组合模型正态与 线性假设的缺陷文章在验证策 略（唐勇等，）不具有普适性情况下，用非对称 方法改进投 资组合模型中的风险度量方式，在 模型基础上提出 模型，并 将其应用于模型优化失效的黄金美股组合通 过样 本 外检验和稳健性检验，发现采用夏普比率、索提诺比率和欧米伽比率这三个指 标评价 情况下，文
2、章 提出的策 略大 部 分标度下优于 策 略，且小 标度下的 策 略优于对照组中表现最好的等权重策 略关键词模型，投 资组合策 略，分形，非对称性（）主题分类号 ：，（，；，；，），国家自然科学基金面上项目（），国家自然科学基金面上项目（）资助课题收稿日期：，收到修改稿日期：通信作音：曹广喜，：编 委：文凤华曹广 喜等：非对称视角下的分形投 资组合策 略研究 （，），引言近年来国际金融市场联动增 强，股票市场动荡 加 剧，如何进行有效的风 险管理早已成为投资者以及学术界的关注焦点组合 投资是金融 风 险管理的重要手段，而黄金作为最 重要的贵金属商品，常在金融危机等极端风 险阶段被当作是其 他金
3、融 资 产的避风港，作为投资组合的组成部分用以分散风 险，帮助投资者谋求更 高的超额收益然而，仅依靠组合避险 资产是不 能取 得 最佳投资效果的，仍然需要对现有的投资组合模型展 开优化研究，以期 得到更好的资 产配置方案均值方差模型是现代资 产组合理论的开端，开辟了对风 险量化管理的新思路，然而这种以资 产收益 率的方差 度 量风 险的方 法自诞生以来一直受 到学 界的讨论和质疑因为这种 风 险度 量方式度 量出的风 险与真实风 险比存在较大误差：收益 率序 列 不一定服从模型正态分布和线性的前提假设；另外，模型只考虑平均 偏差，而将收益 率高于均值部分的偏差计入风 险，不符合 投资者的 实
4、际期望据此国 内外学 者不断提出新的风险度 量方式以完善 投资组合模型，家族函数是最具代表性的研究时间序 列间复 杂非线性相依结构的模型旰被广泛应用于投资组合的风 险度 量手段改进范国斌等和唐 振鹏等分别在 投资组合模型中纳入正则 藤和以描述收益序 列之间的复 杂相依关系，准确地 预测了组合的在险价 值柴尚蕾和周 鹏及 等创新性地构建等相关 模型，更加 充分描述了金融市场之间非线性，动 态相依 结构，使方 法在风 险溢出效应 研究，集成 风 险预测，优化 资 产配置等方面有更广阔的应用等基于藤和模型评估多资 产投资组合的流动性 调整后的风 险价 值，发现新模型在 最优投资组合选择方面优于经典的
5、投资组合尽 管函数可以帮助传统投资组合模型摆 脱“正态分布”和“线性”的框架，但是函数关于金融市场 风 险的应用主要局限在对在险价值的测算上，并且受 制 于“独立同分布 假 设”前提近年来，越来越多的研究聚焦 在 投资组合理论与分形方 法结 合的可行 性上，发现分形方 法同样 能够 克服传统模型只能研究序 列间线性相依 结构的缺陷，相比家族函数等非线性方法，可以量化 资 产间标度交叉相关关系，有助于反 馈出投资策 略的灵活时变 性和首次提出用 互相关系数代 替 系数构建相关系数矩系统科学与数学卷阵，发现 系数可以描述资 产之间的非线性相关，并且可以在不同的时间尺度上进行分解庄晓洋引入了 互相关
6、系数构建了非有效市场下的多分形投资组合模型，并证明了分形市场假说 框架 下的投资组合模型比有效市场假 说 框架 下的模型效果更 好唐勇等，将 分形理论与投资组合理论相结 合，基于传统模型，在非线性，非正态 和 多时间标度的框 架 下，开创性地提出了 和 模型，先后证明了该模型应用于沪港股市投资组合和石油股市投资组合 在收益 率，标准差和夏普比率指 标评价下具有优化作用，考虑了时间标度效应的丰 富价值，是对非线性投资组合理论的进一步发展和完善等算出了 模型的解析 解，以上交 所的六组行业指数为研究对象，构 成组由两个资 产组成的投资组合，从收益 率和夏 普比率两个方面比较，验证了分形投资组合模型
7、相对于均值 方差模型的优势以上关于分形投资组合的研究仅围绕 时间序 列交叉相关 性的时间标度特征和 多分形特征这两点进行风 险 测度 改进，且仅 选用传统的“正态分布”前提下的模型评价指 标另外，系列方法近年来 被不断补充发展它们在 投资组合领域的应用尚且有 待继续 挖掘等，在 系列方法的基础上，提出 法来研究 非平稳时间序 列的非对称交叉相关性，此处，“非对称”指基于不同上升下降 趋 势 或 不同风 险传导效应的金融市场间交叉相关性的非对称特征随 后，很多国 内外学 者将 方法 应用在各个金融 资 产组合中，比如同类的能源期货市场，沪深股市，跨境的大陆香港股市，跨类的期货 现 货市场等，从而
8、进一步在 各 类资 产组合中验证了非对称特征的存在然而，非对称分形的发展主要还是集中在应用对象的探索上，还未有关于方 法本身的融合创新本文主要 有以下几个方面的贡献：）不同于以往的分形投资组合文献 研究对象的单一性，首次将 模型投放到八组交叉相关性不同的投资组合中，发现 其对传统模型的优化效果不具备普遍适用性）在非对称视角下，提出 投资组合模型，不仅能够刻画市场间非线性相依结构，标度效应，还能考虑到时间序 列间交叉相关性的非对称性特征）本 文在 策 略组合优化失效的黄金 美股框架 下，利用回报 率，标准差，夏普比率，索提诺比率，欧米伽比率 等指 标，将 策 略与传统线性、非线性投资组合策 略进
9、行多方面的比较检验验证了新模型在 该组合 框架 下的优越性，为投资者提供更多 切实可行的投资组合方案，丰 富 和发展了分形投资组合理论模型与评价指标 模型构建在非对称 方 法，的基础上构造 模型具体 操作步骤如下步骤构建轮 廓 序 列（）（），（）其中 是单个资 产的时间序 列，士）（），是序 列的长度，曹广 喜等：非对称视角下的分形投 资组合策 略研究期步骤把轮 廓 序 列（）（），分割成 标度为的队（）个不重 叠的子区间为了避免损失有效信息，可以用相同的方法 从时间序 列的尾端到头部 重 复 该 过 程，共得到队个不重叠的小区间步骤令；（），表示 第个长度为的子样本区间序 列，令，表示对
10、应的第个轮 廓子序 列，其中，因此，在第段中有（：）（），），其中，队（）（）（）（）（）其中尾十，十，步骤分别用最小二乘 法求；），和）心），对应的局部趋 势 拟合值）十史）：和（：）十其中代表相应的样本点变董，旦，因此 可 得到波函数（）（），）（）步骤通过斜率的符 号可以刻画各 子序 列正向和负向趋 势的平均波动函数当，表示 时间序 列在 子序 列上具有正向趋 势；当，表示收益 率序列在 子序 列上具有负向趋 势故当只考虑投资组合中其￥个市场具有上升 或下降 趋 势，可得到阶波动函数）（，）（，）十，（）剛（）（）（）其中，分别为子区间在上升和下降 趋势下的子序 列 样本个 数假设对于，
11、有，则？若幂 律相关性 存在，则 标度指数的幂 律关系如下（设）（，）十，）好占化）表示 时间序 列：（）（）在上升（下降）趋 势 时两组时间序 列的交叉相关持续性程 度系统科学与数学步骤本 文借 鉴唐勇和朱鹏飞，刘勇军 等的研究，采用投资组合内各资 产下降趋 势 时的阶波动函数的均值，构建下行风 险（，）（，）（，），（）其中）表示 第个资 产 处于下降 趋 势（另一资 产 趋 势 不考虑）时，两组资 产的阶波动函数，步骤将下降趋 势下阶平均波动函数代入模型，构建基于下行趋 势的 另外，本 文为 简化计算，主要考虑的情况，以下 新模型简称为“（，（），其中？是资 产组合的期望收益 率，表示
12、第种 资 产的期望收益 率；替 代模型中的协方差，用来捕捉在时间序 列下降 势 时的不同波动幅度 下，各个时间标度的非线性相依结构；代表每个 变量的权重，即为设置“不允 许卖空”这个限制条 件 模型与 模型区别在于风 险度 量手段不同 基于波动函数度 量 投资组合 在不同时间标度 下的非线性风 险，模型的风 险度 量用基于下降 趋 势的波动函数表示 不同时间标度 下的下行非线性风 险对于投资者来 说，实 际收益低于预 期收益的部分才会认为是风 险，理论上收益 率序 列 处于上升 趋 势的部分越多，对投资者越有利，反之，对投资者越不利所以，模型相对 模型而言，更符合 投资者的 实 际需 求评价指
13、 标策 略评价指 标选取收益 率，标准差，夏 普比率，索提诺比率 和欧米伽比率 为简化计算，假设 各指 标中无风 险利率？为，收益 率，标准差，夏普比率作为投资组合模型最常用的评价指 标，能有效衡量资 产组合的回报，风 险和投资绩效然而，本研究采用下降 趋 势的波动函数表示下行非线性风 险，增 加索提诺比率和欧 米伽比率 这 类关注下行风 险的评价指 标，对于体现非对称 方 法对投资组合模型的优化效果更具说服力）夏普比率（）其中指超过 整个样本期的无风 险收益 率的平均投资组合收益，是在样本期间预测的投资组合标准差夏普比率表示投资组合 每承受一单位总风 险，会产生 多少的超额收益然而，夏普比率
14、存在局限性，当投资组合收益不是正态分布时，它可能难以提 供可靠和正确的排名）索提 诺比率（）曹广 喜等：非对称视角下的分形投 资组合策 略研究 期其中表示投资组合的下行风 险索提 诺比率相 较于夏普比率，只考虑下行超 额收益的标准偏差这一比率越高，表明投资组合 承担 相同单位下行风 险 能 获得更 高的超 额回报 率）欧米伽比率（，）（，）（）其中风是指定的临界收益 率，本文选取无风 险利率作为风欧米伽比率的主要优点是相 较于以上指 标 不依赖收益 率正态分布的假设，考虑了收益 率的整个分布 信息，包括所有高阶矩的信息，比如 峰度和偏度 等，由此更加符合实 际情况另外，欧米伽比率同样使用下行风
15、 险衡量风 险收益比，和 索提诺比率一样，该值越大，投资组合效果越好，对关心下行风 险的投资者越有吸引力实证研究数 据选取与描 述性统计本 文 选取 伦敦 金 银市场金 价（）代表黄金市场，标普 指数（）代表 美股市场作为研究对 象，数 据样本范围为 年月日至年月 日，删 除非共同交易日，一共获取 组日收盘价 数 据数 据来自：和：将取总样本的作为估 计样本区间，即划分 年月日至年月日为估计样本区间，长度为 个交易日：划分年月日到年月 日为预测 样本区间，长度为 个交易日金融数据通常取对数收益率来消除 资 产价格的指数趋 势，即私（巧）（乃（）其中乃（）表示 资 产在交易日的收盘价表显示，金价
16、和指数的收益 率均值为正数，且差距不大指数的标准差略大于金价的标准差两组收益 率序 列的偏度值小 于，具有左偏特征；峰度值 大于，意味着各组序 列具有显著的尖峰厚尾特征另外，检验 结 果证实收益 率服 从正态分布的零假 设 在显著性水 平上被 拒 绝，即两 组序 列 均 不服从正态分布单位根检验 结 果表明各个序 列在水平下均拒绝原假设，经过 差分后的各个序 列已经平稳表资 产 指数收益率的描述性统 计（）变量均值标 准值最大値最小值偏度峰度 注：表示的显著性水 平 模型在不同交叉 相关 性下的优化效 果分析 模型创新 在于 利用 方 法 衡量金融市场间的交叉相关 性，从而对模型中的金融 风 险度 量手段进行改良，故 本文采用具有不同交叉相关 性的投资组合检验 模型对金融 资 产的应用普适性 系统科学与数学卷该部分使用提出的 交叉相关系数计算方法；是一种量化 两个 非平？稳时间序列交叉相关性 大小的方法，详见文 献，本文 将标普 指数设），道琼 斯指 数（），德国 指数（），恒生指数（），上证指数（），伦敦金银市场金价（）这六组资产两 两配对，组成仅包 括两组资产的不同投资组合，并选择
