1、第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018内蒙古宁城初一期末）探究归纳题： (1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作_条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作_条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作_条.通过以上分析和总结，图1共有_条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_条直线；图3共有_条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有_条直线(用含n的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA）20172018赛季作出重大改革，比
2、赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律巩固练习1（2019河南许昌）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切1
3、0刀（不许重叠），最多可得到 块饼2（2019全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？3（2018浙江全国初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题 (1)5条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块；(2)n条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块4（2019全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票?5（2019全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个
4、端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB，并在射线AP上截取ADAB；（2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BEBD（3）在（2）的基础上，取BE中点F，若BD6，BC4，求CF的值方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语
5、句准确画图巩固练习1（2020全国单元测试）如图所示，已知线段的长为（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；（2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长2（2020福建宁化初一期末）如图，已知线段a和线段AB，（1）延长线段AB到C，使BCa（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB5，BC3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长3（2020河北涞源初一期末）已知：如图，线段AB.（1）根据下列语句顺次画图. 延长线段AB至C，使BC=3AB， 画出线段AC的中点D.（2）请回答： 图中有几条线段； 写出图中所有相等的线段.4
6、（2019广西防城港初一期末）如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B（1）用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长5（2019江苏沛县初一期末）如图，已知四点A、B、C、D（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：画直线AB画射线DC延长线段DA至点E，使(保留作图痕迹)画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上（2）在（1）中所画图形中，若cm，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长6（2019广东龙华初一期末）如图，已知不在同一条
7、直线上的三点、，其中，且（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）作射线；在线段上截取；在线段上截取恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”像这样点就称为线段的“黄金分割点”（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0618倍，则称这个点为黄金分割点如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_米7（2019闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）
8、，并填空（1）作线段AB，使得ABab；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得ACBC AB（填“”或“”号），理由是 考点3：动点有关的线段问题典例：（2020江西东湖期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM4cm，当点C、D运动了2s，此时AC ，DM ；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值（3）若点C、D运动时，总有MD2AC，则AM （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且ANBNMN
9、，求的值方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键巩固练习1（2020浙江镇海期末）已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动（1）当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值（2）当线段在射线上沿方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值2（2021重庆开学考试）如图，是线段上任意一点，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为（1）若求运动后，的长；当点在线段上运动时，试说明（2）如果，试探索的长3（2020全国初一课时练习）已
10、知，两点在数轴上表示的数为和，均为数轴上的点，且（1）若，的位置如图所示，试化简：；（2）如图，若，求图中以，这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，为中点，为中点，且，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数4（2020河南太康初一期末）(1)如图，已知点C在线段AB上，AC6 cm，且BC4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；(2)在(1)题中，如果ACa cm，BCb cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC6 cm，BC4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是A
11、C，BC的中点，求MN的长度”结果会有变化吗？如果有，求出结果5（2020深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQBQ=PQ，求PQ的长.6（2020山东崂山初一期末）如图，已知线段AB、a、b（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作
12、法，但要保留作图痕迹）延长线段AB到C，使BCa；反向延长线段AB到D，使ADb（2）在（1）的条件下，如果AB8cm，a6m，b10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度7（2019河北初三二模）如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中（1）在左侧作线段，在的右侧作线段（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值（3）在（2）的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长8（2019江西贵溪初一期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）（1）若点、运
13、动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：的值不变；的值不变可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020江西东湖期末）若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角.（1）若M=2117，则M的5倍角的度数为 ；（2）如图1，OB是AOC的平分线，OD是COE的平分线，若AOC=COE，请直接写出图中AOB的所有3倍角；（3）如图2，若AOC是AOB的5倍角，CO
14、D是AOB的3倍角，且AOC和BOD互为补角，求AOD的度数.方法或规律点拨此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180为互补巩固练习1（2020全国单元测试）如图所示，已知，平分，求、的度数2（2020岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分AOC和BOC（1）若AOB120，BOC40，求MON的度数（2）若取掉（1）中的条件BOC40，只保留AOB120，求MON的度数（3）若将AOB内部的射线OC旋转到AOB的外部，如图2，AOB120，求MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的MON与AOB
15、的数量关系3（2020甘肃肃州初一期末）如图，已知BOC2AOC，OD平分AOB，且COD20，求AOB的度数4（2019山西浑源初一期末）已知COD90，且COD的顶点O恰好在直线AB上（1）如图1，若COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：当BOD20时，AOC的度数为 ；当BOD55时，AOC的度数为 ；若BOD，则AOC的度数用含的式子表示为 ；（2）如图2，若COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：当BOD2830时，AOC的度数为 ；如图3，当OB恰好平分COD时，AOC的度数为 ；图2中，若BOD，则AOC的度数用含的式子表示为 5（2020全国初一课时练习）
16、如图，O在直线AC上，OD是AOB的平分线，OE在BOC内（1）若OE是BOC的平分线，则有DOE=90，试说明理由；（2）若BOE=EOC，DOE=72，求EOC的度数6（2020湖北广水初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在MON内部作射线OC（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且AOC150若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分MOB，且BON2NOC，求AOM的度数；7（2020全国初一课时练习）如图，OM是AOC的平分线，ON是BOC的平分线(1)如图1，
17、当AOB是直角，BOC=60时，MON的度数是多少？(2)如图2，当AOB=，BOC=60时，猜想MON与的数量关系；(3)如图3，当AOB=，BOC=时，猜想：MON与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由8（2020内蒙古杭锦后旗初一期末）如图，AOB90，AOC=50，ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线（1）求MON的大小；（2）当AOC时，MON等于多少度？9（2019内蒙古临河初一期末）已知，O为直线AB上一点，DOE=90（1）如图1，若AOC=130，OD平分AOC求BOD的度数；请通过计算说明OE是否平分BOC（2）如图2，若BOE：AOE=2：7，求AOD的度数
18、10（2020辽宁庄河期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点处，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线（1）求的度数；（2）如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点逆时针旋转时，其他条件不变，求的度数（提示：旋转角）（3）在旋转的过程中，当时，直接写出的值11（2019四川雁江初一期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处（），一边在射线上，另一边在直线的下方（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；（2）将图1中的三角板绕点以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值；将图1中
19、的三角板绕点逆时针旋转至图3，使一边在的内部，请探究的值12（2020山西浑源初一期末）综合与探究：问题情境：如图，已知AOB90，射线OC在AOB的外部且0BOC180OM是AOC的角平分线，ON是BOC的角平分线特例探究：（1）如图1，当BOC40时，MON的度数为 ；当BOC90时，求MON的度数；猜想拓广：（2）若AOB（090），当AOBBOC180时，则MON的度数是 ；（用含的代数式表示）当AOBBOC180时，请在图2中画出图形，并直接写出MON的度数（用含的代数式表示）考点5：与旋转角有关的计算与证明典例：（2020全国初一课时练习）阅读理解射线是内部的一条射线，若则我们称射
20、线是射线的伴随线例如，如图1，则，称射线是射线的伴随线：同时，由于，称射线是射线的伴随线知识运用（1）如图2，射线是射线的伴随线，则，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是（用含的代数式表示）（2）如图，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线 方法或规律点拨本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学
21、会用分类讨论的思想思考问题巩固练习1（2020宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使BOC=70，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处（注：DOE=90）(1)如图，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则COE= ；(2)如图，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分BOE，求COD 的度数；(3)如图，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在BOC 的内部， 试猜想BOD 和COE 有怎样的数量关系？并说明理由2（2020宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，已知线段AB=20
22、cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点.（1）若AC=4cm，则EF=_cm.（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由.（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图已知在内部转动，OE、OF分别平分在，则、和有何关系，请直接写出_.3（2020江苏南京南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB过点O，COD90，OE是BOC的平分线（1）操作发现：如图1，若AOC40，则DOE 如图1，若AOC，则DOE （用含的代数式表示）（2）操作探究：将图1中的COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他
23、条件不变，中的结论是否成立？试说明理由（3）拓展应用：将图2中的COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若AOC，求DOE的度数，（用含的代数式表示）4（2020全国初一课时练习）如图所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起（1）若，如图，请求出的度数；（2）若，如图，请求出的度数；（3）猜想：和的关系（请直接写出答案即可）5（2020全国初一课时练习）已知是内部的一条射线，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为 （1）如图（1），若，逆时针转动到，处若，的转动时间为2，则_；若平分，平分，求的值（2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请
24、猜想与的数量关系，并说明理由6（2020全国初一课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想探索归纳问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.（发现猜想）（1）如图，已知AOB70，AOD100，OC为BOD的角平分线，则AOC的度数为 ；. （探索归纳）（2）如图，AOBm，AODn，OC为BOD的角平分线. 猜想AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.（问题解决）（3）如图，若AOB20，AOC90，AOD120.若射线OB绕点O以每秒20逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停
25、止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？7（2020全国初一课时练习）如图，是直线上的一点，是直角，平分.（1）若，则的度数为 ；（2）将图中的绕顶点顺时针旋转至图的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；（3）将图中的绕顶点顺时针旋转至图的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系.8（2020全国初一课时练习）如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处.（注：）（1）如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为_；（2）如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分
26、，求的度数；（3）如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系.9（2020全国初一课时练习）如图，射线，分别表示以点为中心的北，东，南，西四个方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向 （1）画出射线，若与互余，请在图（1）或备用图中画出；（2）若是的平分线，直接写出的度数（不需要计算过程）10（2017河南平舆初一期末）如图，已知同一平面内，（1）问题发现：的余角是_，的度数是_；（2）拓展探究：若平分，平分，则的度数是_（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果将题目中的改为；改为，其他条件不变，你能求出吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由
27、11（2019沈阳市第七中学初一期中）数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转（两个三角板始终有重合部分）（1）当旋转到如图所示的位置时，量出25，通过计算得出AODBOC ；（2）通过几次操作小明发现，25时AODBOC仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程理由：因为AOCBOD ；所以，根据等式的基本性质 CODBOD ；即AOD （3）小莹还发现在旋转过程中AOB和DOC之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量关系 12（2020辽宁望花初一期末）已知点O为直线AB上的一点，BOCDOE90（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；COD和BOE相等吗？BOD和COE有什么关系？（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；COD和BOE相等吗？第（1）题中的BOD和COE的关系还成立吗？13（2020河北承德初一期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角，例如，则和互为反余角，其中是的反余角，也是的反余角如图为直线AB上一点，于点O，于点O，则的反余角是_，的反余角是_；若
