1、第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用考点体系考点1：绝对值、相反数概念的应用 典例：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求 的值【答案】见解析【解析】解：因为a、b互为相反数,所以a+b=0因为c、d互为倒数,所以cd=1 因为m的绝对值为6,所以m=6当m=6时，原式=6 +0-1 =5当m=-6时，原式=-6+0-1=-7.方法或规律点拨解这道题时，需注意“m的绝对值为6”表示m可能是6，也可能是-6，不要漏掉某种情况.巩固练习1（2019江苏省泰州中学附属初中初一期中）如图，数轴上的两点A，B分别表示有理数a，b，（1）（用“”或“=”或“”填空）： a+b 0，
2、 b-a 0（2）分别求出|a+b|与| b-a |.【答案】（1）；（2）-a-b ，b-a 【解析】解：（1）由数轴可知，且，所以a+b0；故答案为： . （2）a+b0，|a+b|=-(a+b)=-a-b，|b-a|= b-a.2（2019江西省初一期末）计算：有理数a、b，c在数轴上的对应点如图，且a、b，c满足条件（1）求a、b，c的值；（2）求的值【答案】（1）a=1；b=2；c=5；(2)10.【解析】解:(1)由图可知，c10|a|=5|b|=2|c|=10，10|a|=10，即|a|=1，解得a=1；同理5|b|=10，|b|=2，解得b=2；2|c|=10，即|c|=5，解
3、得c=5；(2)|a+b|+|b+c|+|a+c|=|1+2|+|25|+|15|=1+3+6=10.3（2019江西省初一期中）在下列各数中，负数的个数为m个，正数的个数为n个，绝对值最大的数为k.（1）m= _n=_K=_（2）求的值【答案】（1）4，3，-125；（2）-32.【解析】解：（1）负数有-125，-，-4.5，-0.06共4个，则m=4；正数有31，4.7，共3个，则n=3；=125，=，=0，=，=4.5，=0.06，由00.064.54.7310，y0，则=-y，则x，在数轴上表示为：（2）数轴上左边的数小于右边的数，则-xy00，y-x0，=-y，则+=x+y+y-x
4、-y=y.6（2018河南省初一期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2，求2（a+b）+3cd-|-m|的值【答案】1【解析】解：有理数m所表示的点到原点距离2个单位，m=2或-2；根据题意得：a+b=0，cd=1，当m=2时，原式=1；当m=-2时，原式=1，则原式的值为17（2019浙江省初一月考）计算：已知|x|=，|y|=，且xy0，求6（xy）的值【答案】-36.【解析】解：|x|=，|y|=，且xy0，x=，y=，6（xy）=6（+）=36考点2：有理数的混合计算典例：（2019句容市第二中学初一月考）计算（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （
5、6）【答案】（1） 10 （2）16 （3）-3 （4） （5）0.75 （6）【解析】（1）= ； （2） ；（3） = ； （4） ；（5）= ； （6） = 方法或规律点拨有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便。巩固练习1（2019全国初一课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，你发现规律了吗？下一个式子应该是： 利用你发现的规律，计算： .【答案】【解析】下一个式子应该是：+ +2（2019福建省厦门外国语学校初一月考）在一个33的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的33的方格称为一个三阶幻方（1）在图1中空格处填上合
6、适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)2+3+4=9，9-6-4=-1，9-6-2=1，9-2-7=0，9-4-0=5，如图1所示：(2)-3+1-4=-6，-6+1-(-3)=-2，-2+1+4=3，如图2所示：x=3-4-(-6)=5，y=3-1-(-6)=8，即当x+y=5+8=13时，它能构成一个三阶幻方.3（2020浠水县兰溪镇兰溪中学初一期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最
7、小值是 （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最大，最大值是 （3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：231（2），请另写出一种符合要求的运算式子 【答案】（1）6；（2）3；（3） 3（2）21=24（答案不唯一，符合题意正确即可）.【解析】（1）取3，2，乘积最小=6，故答案为6（2）取3，1商的最大值为3，故答案为3（3）3（2）21=24.4（2019安陆市陈店乡初级中学初一月考）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：1（1+）；第2个数：2（1+）1+1+；第3个数：3（1+）1+1+1+
8、1+.(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)；(2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果【答案】（1）见解析（2） 【解析】(1)第1个数：；第2个数：；第3个数：. (2)第2 017个数：2 017=2017-=2017-=.5（2019山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期中）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（-15）；（2）999+999（）-999.【答案】(1)149985;(2)99900.【解析】解：（1）999（-15）=（1000-1）（-15）=15-15000=149985;（2）999+999（）
9、-999=999+（）-=999100=99900.6（2019云南省鹿阜中学初二期中）观察下列各式：，=，=（1）填空：=_.（2）计算：+【答案】(1) ,(2) .【解析】解：（1）；（2）原式= =7（2019安徽省涡阳县丹城中心校初一月考）计算：1410.413226；【答案】2.6【解析】原式=10.63(46) =11.8(2)=1+3.6=2.68（2019河南省初一期中）计算：（1）5（2）（8）（2）； （2）；（3）； （4）14（104）（2）26.【答案】（1）-6；（2）-3；（3）37；（4）5【解析】(1)原式1046；(2)原式(4)853；(3)原式1240
10、937；(4)原式113(2)165.考点3：定义新运算典例：（2020湖北省初一月考）现定义运算：对于任意有理数a、b，都有ababb，如：23233，请根据以上定义解答下列各题：（1） 2（3）_，x（2）_；（2） 化简：（x）3 （2）；（3） 若x3（x），求x的值【答案】（1）3，2x2 ；（2）6x8；（3）x【解析】解：（1）2（3）=2（3）+3=-6+3=-3，x（2）=-2x+2；（2）（x）3=-3x-3，（-3x-3）（2）=6x+6+2=6x+8；（3），解得：x=方法或规律点拨本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键巩固练习1（2019云
11、南省鹿阜中学初一月考）若定义，其中符号“”是我们规定的一种运算符号例如：求：的值【答案】-8.【解析】解：根据题中的新定义得：2（2019连云港外国语学校初一期中）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作， 读作“2 的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈c次方”(1)（初步探究）直接写出计算结果：_，_，(2)关于除方，下列说法错误的是 A任何非零数的圈2次方都等于1；B对于任何正整数，；C；D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数(3)（深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可
12、以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式_；_；_.想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于_；.算一算：_【答案】【初步探究】（1） ，-8 ；（2）C；【深入思考】（1） ，(-2)8 ；(2) ；（3）-131.【解析】解：【初步探究】 （1） ，-8；（2）C；【深入思考】（1） ，(-2)8 ；(2) ；（3）122-=144(-3)2 (-2)3-(-3)433=1449 (-8)-3=-128-3=-131.3（2019四川省初一期中）我们定义一种新运算：a*b=a2b+
13、ab例如：1*3=123+13=1（1）求2*（3）的值（2）求（2）*2*（3）的值【答案】（1）1；（2）1【解析】解：（1）2*（3）=22（3）+2（3）=4+36=1；（2）（2）*2*（3）=（2）*1=（2）21+（2）1=412=14（2019江苏省初一月考）定义运算观察下列运算：（+3）（+15）+18（14）（7）+21，（2）（+14）16（+15）（8）23，0（15）+15（+13）0+13（1）请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号_，异号_特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，_（2）计算：（+11）0（12）_（3）若2（2a）1
14、3a，求a的值【答案】（1）两数运算取正号，并把绝对值相加； 两数运算取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）23 ；（3）a为3或1.【解析】（1）同号两数运算取正号，并把绝对值相加；异号两数运算取负号，并把绝对值相加等于这个数的绝对值；（2）原式=(11) (12) =23 ；（3）当a0时，左边2213，右边0，左边右边，所以a0；当a0时，2(2a)13a，解得：a3；当a0时，2（2a) 13a，解得：a1综上所述：a为3或15（2018安徽省初一期末）请观察下列定义新运算的各式：13=14+3=7；3（1）=341=11；54=54+4=24；4（3）=443=13（1）
15、请你归纳：ab= ；（2）若ab，那么ab ba（填“=”或“”）；（3）先化简，再求值：（ab）（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数【答案】（1）4ab；（2）；（3）-6. 【解析】解：（1）由题目中的式子可得，ab=4a+b，故答案为4a+b；（2）ab=4a+b，ba=4b+a，（ab）-（ba）=（4a+b）-（4b+a）=4a+b-4b-a=4（a-b）+（b-a），ab，4（a-b）+（b-a）0，（ab）（ba），故答案为；（3）(ab)(2ab)4(ab)(2ab)4a4b2ab6a3b.由题意a-1，b0原式6（-1）30-6.6（2019四川省初一单元
16、测试）我们规定“”是一种数学运算符号，两数A、B通过“”运算是A+22B,即AB=A+22B，例如：35=3+225=5（1）求：79的值；（2）求：（79）（-2）的值.【答案】（1）9;（2）24.【解析】解：（1）79=（7+2）2-9=92-9=9;（2）根据题中的新定义得：原式=9（-2）=（9+2）2-(-2)=112+2=24.7（2019全国初一单元测试）规定一种新的运算：ab=abab2+1，例如3（4）=3（4）3（4）2+1，请用上述规定计算下面各式：（1）28；（2）（7）5（2）【答案】（1）49；（2）190【解析】（1）28 （2） 考点4：有理数计算的实际应用典
17、例：（2020偃师市实验中学初一月考）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：km）：+15，2，+5，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6，求：（1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？（2）若汽车耗油3升/每千米，开工时储存180升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油？【答案】（1）收工时在A地的正东方向，距A地39km；（2）需加15升.【解析】(1)根据题意可得：向东走为“+”，向西走为“”；则收工时距离等于(+15)+(2)+(+5)+(1)+(+10)+(3)+(2
18、)+(+12)+(+4)+(5)+(+6)=+39.故收工时在A地的正东方向，距A地39km.(2)从A地出发到收工时，汽车共走了|+15|+|2|+|+5|+|1|+|+10|+|3|+|2|+|+12|+|+4|+|5|+|+6|=65km；从A地出发到收工时耗油量为653=195(升).故到收工时中途需要加油，加油量为195180=15升.方法或规律点拨此题考查正数和负数，有理数的加法，解题关键在于掌握其定义和运算法则.巩固练习1（2018偃师市实验中学初一月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6若该地地面温度为21，高空某处温度为39，求此处的高度是多少千
19、米？【答案】10千米【解析】根据题意，该处的高度为：答：此处的高度是10千米.2（2019台州市书生中学初一月考）在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，9，+8，7，+13，6，+12，5（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】（1）B地在A地的东边20千米；（2）最远处离出发点25千米；（3）还需补充的油量为9升.【解析
20、】(1)1498713612520，B地在A地的东边20千米(2)路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，1495(千米)，149813(千米)，149876(千米)，149871319(千米)，1498713613(千米)，149871361225(千米)，1498713612520(千米)最远处离出发点25千米(3)这一天走的总路程为14|9|8|7|13|6|12|5|74(千米)，耗油740.537(升)，37289(升)，故还需补充的油量为9升3（2020中卫市宣和中学初一期末）粮库3天内进出库的粮食记录日下（单位：吨进库的吨数记为正数，出库的吨数记为负数）：+26，32，25，
21、+34，38，+10（1）经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？（2）经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？【答案】（1）-25吨；（2）505吨；【解析】（1）26+（32）+（25）+34+（38）+10=25（吨）答：粮库里的粮食是减少了25吨；（2）480（25）=505（吨）答：3天前粮库里存粮有505吨；4（2020宁波市江北区新城外国语学校初一期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）写出该厂星期一生产工艺品的数量；（2）本周产量
22、最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？（3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；（4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额【答案】（1）305（个）；（2）26（个）；（3）2200（套）（4）127100（元）【解析】（1）周一的产量：300+5=305（个）；（2）最多的一天比最少的一天多生产（+16）-（-10）=26（个）；（3）根据题意得一周生产的服装套数为3007+（+5）+（-2）+（-5）+（+15）+（-10）+（+16）+（-9）=2100+10=2
23、200（套）（4）超额完成10套，该工艺厂在这一周应付出的工资总额为211060+1050=127100（元）5（2020湖南省初一期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，2，+10，8，7，+11，10(1)守门员是否回到了原来的位置？(2)守门员离开球门的位置最远是多少？(3)守门员一共走了多少路程？【答案】（1）回到了原来的位置；（2）守门员离开守门的位置最远是14米；（3）54米【解析】（1）根据题意得：62+1087+1110=0答：回到了原来的位置（2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开
24、6米，第五次离开1米，第六次离开10米，第七次离开0米，则守门员离开守门的位置最远是14米；（3）总路程=|+6|2|+|+10|+|8|+|7|+|+11|+|10|=54米6（2019福建省初一期中）出租车司机李师傅一天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6（1）李师傅将第几名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点？（2）李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点多少米？（3）如果汽车耗油量为0.3升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？【答案】（1）六；（2）1；（
25、3）16.5升【解析】解：（1）+8+4=12，1210=2，23=1，1+6=5，55=0故李师傅将第六名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点；（2）027+4+6=1，故李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点1米；（3）（8+4+10+3+6+5+2+7+4+6）0.3=550.3=16.5（升）故这天下午汽车共耗油16.5升考点5：数轴上的动点问题典例：（2020山西省山西实验中学初一期中）（阅读理解）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是A，B的奇点例如，如图1，点A表示的数为3，点B表示的数为1表示0的点C到点A的距
26、离是3，到点B的距离是1，那么点C是A，B的奇点；又如，表示2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是A，B的奇点，但点D是B，A的奇点（知识运用）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为3，点N所表示的数为5（1）数 所表示的点是M，N的奇点；数 所表示的点是N，M的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为50，点B所表示的数为30现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【答案】（1）3，1；（2）30，10【解析】(1)5(3)8，8(31)2，523，321.故表示数3的点是M，N的奇点；表示数1的点是N，M的奇点(2)30(50)80，80(31)20，302010，502030.故点
