1、第九章 不等式与不等式（组）9.1 不等式及其性质（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边
2、的量(3)有些不等式中不含未知数，如34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示
3、:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示如：不等式x-26的解集为x8(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，xa或xa向右画；对边界点a而言，xa或xa向左画注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点要点三、不等式的基
4、本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)要点诠释： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在
5、乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变【典型例题】类型一、不等式的概念例1有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形判断下列正确的情形是 ( )【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量5克，3个糖果的质量16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的【答案】D【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选
6、项错，四个糖果的重量小于克故D选项对【总结升华】观察图示，确定大小本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式类型二、不等式的解及解集例2.若关于的不等式xa只有三个正整数解，求的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围 【答案】3a4【解析】解：不等式xa只有三个正整数解，三个正整数解为：1，2，3，3a4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解例3. 如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )A-3x2 B-3x2 C-3x2 D-3x2
7、【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数【答案】B【解析】解： A、因为-3x2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；C、因为-3x2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；D、因为-3x2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；故选B【总结升华】在数轴上 表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，“”，“”向右画；“”，“”向左画举一反三：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_【答案】4 提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为把x1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y；
8、若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止类型三、不等式的基本性质例4.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y2，则a的取值范围是_【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值因为x+y2，故可以构建关于a的不等式然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围【答案】a4 【解析】解：将两方程相加得：4x+4y4+a 将方程的两边同除以4得 依题意： 将不等式的两边同乘以4得4+a8 将不等式的两边同时减去4得a4 故a的取值范围是a4【总结升华】解关于x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为xa或xa的形式，化简的依
9、据是不等式的性质举一反三：【变式1】若关于x的不等式（1a）x3可化为，则a的取值范围是 【答案】a1解：关于x的不等式（1a）x3可化为，1a0，a1. 【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )A若ab，则a2b2； B若a2b2，则ab C若ab，则a|b| D若a|b|，则ab【答案】D 【巩固练习】一、选择题1下列不等式中，一定成立的有 ( )5-2；x+32；+11；A4个 B3个 C2个 D1个2关于不等式-2x+a2的解集如图所示，则a的值是 ( )A0 B2 C-2 D-43下列不等式变形正确的是（）A由ab得acbc B由ab得2a2bC由ab得abD由ab得a2b
10、24若0x1，则x，x2的大小关系是 ( )A B C D5. 不等式2x+1-3的解集在数轴上表示正确的是 ( )6如果ab，那么下列不等式一定成立的是 ( )Aa+cb-c Ba-cb-c C D-a-b二、填空题7（2015春盐城校级期中）给出下列表达式：a（b+c）=ab+ac；20；x5；2ab+1；x22xy+y2；2x36，其中不等式的个数是 8(1)若，则a_b； (2)若m0，mamb，则a_b9已知，若y0，则m_10已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是_11下列结论：若ab，则ac2bc2；若acbc，则ab；若ab，且cd，
11、则acbd；若ac2bc2，则ab，其中正确的有_(填序号)12如果不等式3x-m0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是_三、解答题13用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻14已知不等式(m-1)xm-1的解集是x1，则m应满足什么条件?15已知-2a3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)16根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法若A-B0，则AB；若A-B0，则AB；若A-B0，则AB这
12、种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题 (1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小； (2)比较a+b与a-b的大小； (3)比较3a+2b与2a+3b的大小答案与解析一、选择题1. 【答案】B；【解析】一定成立的是：；2. 【答案】A；【解析】根据不等式的性质可得，不等式的解集为，由图可得，不等式的解集为：，因为它们是一个解集，所以，解得.3.【答案】C【解析】ab，c0时，acbc；c=0时，ac=bc；c0时，acbc，选项A不正确；ab，2a2b，选项B不正确；ab，ab，选项C正确；ab，a2b2，选项D不正确4. 【答案】C； 【解析】
13、0x1， x2x.5.【答案】； 【解析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“”与“”、“”与“”的区别，大于号向右画，小于号向左画，有等号需画实心圆点，无等号需画空心圆圈6. 【答案】D； 二、填空题7. 【答案】4.8. 【答案】(1)， (2)； 【解析】（1）两边同乘以（）；（2）两边同除以；9. 【答案】8； 【解析】由已知可得：x4，y2x-m8-m0，所以m8；10【答案】11.【答案】 12.【答案】9m12； 【解析】3x-m0，x，34， 9m12三、解答题13.【解析】解：（1）x+2x0；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r300；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，
14、应有3a+4b268；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P70%；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有ab14.【解析】解：m-10，即m115.【解析】解： -2a3， a-30当3a+60，即a-2时，3a+6就为非负数又 -2a3，3a+60 原式-(a-3)-(3a+6)+4a-4-716.【解析】解：(1) (2)a+b-(a-b)a+b-a+b2b，当b0时，a+b-(a-b)2b0，a+ba-b；当b0时，a+b-(a-b)2b0，a+b=a-b；当b0时，a+b-(a-b)2b0，a+ba-b (3)3a+2b-(2a+3b)a-b 当ab时，3a+2b2a+3b；当ab时，3a+2b2a+3b；当ab，3a+2b2a+3b
