1、第七章 平面直角坐标系7.3 平面直角坐标系章末复习（能力提升）【要点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：要点诠释：（
2、1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将形与数联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
3、关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数注：反之亦成立（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x| x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2| 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1
4、 - y2|（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补要点三、坐标方法的简单应用1用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称要点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度2用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移
5、a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b) 要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换 (2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味
6、着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”【典型例题】类型一、有序数对例1数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+18，现将数对(-2，3)放入其中得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是_【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可【答案】66 . 【解析】解：将(-2，3)代入，得(-2)2+3+18， 再将(8，1)代入，得82 +1+166， 故填：66【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）
7、放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的数举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作_；数对(-2，-6)表示_【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.类型二、平面直角坐标系例2. 第三象限内的点P(x，y)，满足|x|5，y29，则点P的坐标为_【思路点拨】点在第三象限，横坐标0，纵坐标0再根据所给条件即可得到x，y的具体值【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|5，y29所以x5，y3，又点P(x，y)在第三象限，所以x0，y0，故点P的坐标为(-5，-3)【总结升华】解决本
8、题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）举一反三：【变式1】 在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) A3 B-3 C4 D-4【答案】C.【变式2】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) A(5，2) B(-6，3) C(-4，-6) D(3，-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用例3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（3，2），（2，3）完成以下问题：（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；（2）写出图上其他地点的坐标（3）在图中用点P表示体育馆（1，3）的位置【思
9、路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；（3）根据点P（1，3）可以在直角坐标系中表示出来【答案与解析】解：（1）由题意可得，（2）由（1）中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，2），综合楼的坐标是（5，3），实验楼的坐标是（4，0）；（3）在图中用点P表示体育馆（1，3）的位置，如下图所示，【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系例4.如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0
10、），A（3，0），B（5，2），C（2，3）求这个四边形的面积【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEFSABHSCBESOCF进行计算【答案与解析】解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，则E（5，3），所以S四边形ABCO=S矩形OHEFSABHSCBESOCF=53221332=【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积例5.ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2) (1)将ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单
11、位，所得A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得A2B2C2与ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得A3B3C3与ABC的大小、形状和位置上有什么关系?【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)(2)A2B2C2与ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把ABC向左平移5个单位得到(3)A3B3C3与ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把AB
12、C向下移5个单位得到【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（3，2）重合，则点A的坐标是（）A（2，5）B（8，5）C（8，1）D（2，1）【答案】D解：在坐标系中，点（3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，1），则A点的坐标为（2，1）故选：D类型四、综合应用例6. 三角形ABC三个顶点A、B、C
13、的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）求出三角形A1B1C1的面积【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减写出三角形A
14、1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形 （3）把A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得A1B1C1的面积【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得A1B1C1的面积=32.5-1-2.5-0.75=3.25A1B1C1的面积=3.25【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。举一反三：【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C
15、的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( ) A32 B24 C6 D8【答案】B.【提升练习】一、选择题1点P（0，3）在（ ）.Ax轴的正半轴上 Bx的负半轴上 Cy轴的正半轴上 Dy轴的负半轴上2已知ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（3，3），C（1，0），将ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A（7，1）BB（1，7）C（1，1）D（2，1）3将某图形的横坐标减去2，纵坐标保持不变,可将图形（ ）.A横向向右平移2个单位B横向向左平移2个单位C纵向向右平移2个单位D纵向向左平移2个单位4若点A（a+1，b2）在第二象限，则
16、点B（a，b+1）在（）A第一象限B第二象限C.第三象限D.第四象限5点P的坐标为（3a-2，8-2a），若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）. A或4 B-2或6 C或-4 D2或-66. 如图是被墨迹污染的旅游区各景点地图，隐约可见，第一景点的坐标为（0,3），第二景点的坐标为（5,3），景区车站坐标为（0,0），则车站大约在（ ）.A点A B点B C点C D点D7若点A(m，n)在第二象限，则点B(|m|，-n)在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8点P(m+3，m+1)在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为( ) A(0，-2) B(2，0) C(4，0) D
17、(0，-4)二、填空题9.如图，若点E坐标为(2，1)，点F坐标为(1，1)，则点G的坐标为 GEF10. 点P（5，4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 11. 若点M在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则M的坐标是 12.若点（a，b）在第二象限，则点（b，a）在第 象限.13.将点P（1，2）向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到P1，则点P1的坐标是 14.点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为 15.在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个-4或616.在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k为整
18、数，则 k的值为 三、解答题17已知三角形ABC的两个顶点坐标为A（4，0），B（2，0），如图，且过这两个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为1，求顶点C的坐标及三角形的面积18如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（1，2），解答以下问题：（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；（2）若体育馆位置坐标为C（1，3），请在坐标系中标出体育馆的位置；（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积19.已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积 20.小杰与
19、同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序(1)如果用(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？(4，6)表示哪个地点？(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗?(3)请你帮小杰设计一条游玩路线，与同学交流，看谁设计的路线最短?【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C； 【解析】横坐标为0，说明点在y轴上，又纵坐标大于0，说明点在y轴的正半轴上.2. 【答案】C； 【解析】点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），40=4，106=4，ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，点B的对应点B1的坐标
20、为（3+4，3+4），即（1，1）3. 【答案】B.4. 【答案】A； 【解析】解：由A（a+1，b2）在第二象限，得a+10，b20解得a1，b2由不等式的性质，得a1，b+13，点B（a，b+1）在第一象限，故选：A5. 【答案】D； 【解析】由题意得：，解得：或.6. 【答案】B； 【解析】根据已知的坐标，可建立平面直角坐标系，如图，由此可得答案.7. 【答案】D； 【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以m0且n0，所以|m|0，-n0，点B(|m|，-n)在第四象限，故选D8. 【答案】B； 【解析】在x轴上点的纵坐标为0，所以m+10，可得m-1，m+32，所以P点的坐标为
21、(2，0)，故选B二.填空题9. 【答案】(1 ，2)； 【解析】由图可知，点G的横坐标与点F的横坐标相同，均为1，而纵坐标比点E的纵坐标大1，所以点点G的坐标为（1,2）10.【答案】4,5.11.【答案】(3 ，2).12【答案】四； 【解析】由点（a，b）在第二象限，可得a0，b0，即得点（b，a）的横坐标大于0，而纵坐标小于0，所以点（b，a）在第四象限13.【答案】（2，4）；【解析】1+32，22-4.14.【答案】垂直.15.【答案】3；【解析】解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐
22、标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个故答案填：316. 【答案】1 【解析】点A（1-2k，k-2）在第三象限，1-2k0，k-20，解得：0.5k2，又k为整数，k=1三.解答题17.【解析】解：（1）AB边上的高为4，点C的纵坐标为4或4，第三个顶点C的横坐标为1，点C的坐标为（1，4）或（1，4）；（2）A（4，0），B（2，0），AB=2（4）=2+4=6，ABC的面积=64=1218.【解析】解：（1）如下图；（2）如下图；（3）SABC=34211433=4.519.【解析】解：过点C作CFx轴于点F，过D作DEx轴于点E则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5 20. 【解析】解：（1）（0，7），海底世界； （2）天文馆离入口最近，攀岩离入口最远； （3）略
