1、第六章 实数6.1 平方根（基础巩固）【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；
2、（3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念例1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析
3、】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为5，所以本说法正确；B.因为1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根（ ）（2）（ ）（3）的平方根是（ ）（4）是的算术平方根（ ）【答案】 ； ； ， 提示：（2）；（4）是的算术平方根例2、 填空：（1）是 的负平方根 （2）表示 的算术平方根， （3）的算术平方根为 （4）若，则 ，若，则 【思路点拨】（3）就是的算术平方根，此题求
4、的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：3是9的平方根 9的平方根是34是8的正的平方根 是64的负的平方根A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）3 （2）（3） （4）【答案】（1）15；（2）15；（3）0.3；（4）例3、使代数式有意义的的取值范围是_ 【答案】；【解析】10，解得.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.举一反三：【变式】若+（3x+y1）2
5、=0，求5x+y2的平方根 【答案】解：+（3x+y1）2=0，解得，5x+y2=51+（2）2=9，5x+y2的平方根为=3类型二、利用平方根解方程例4、求下列各式中的x值（1）169x2=144 （2）（x2）236=0【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得开平方，得x=（2）（x2）236=0，移项，得 （x2）2=36开平方，得 x2=6，解得：x=8或x=4【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个类型三、平方根的应用例5、要在一块长方形
6、的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】一.选择题1. 16的平方根是（ ）A.4 B.4 C. 4 D. 2562下列各数中没有平方根的是（ ）AB0 C D3下列各等式中，正确的是（）A=3 B=3 C（）2=3 D=34. 要使代数式有意义，则的取值范围是( )A B C D5. 下列语句不正确的是（ ）A0的平方根是0B正数的两个平方根互为相反数C的平方根是2
7、D是的一个平方根6.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（ ）A8B4CD 二.填空题7计算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_8.的算术平方根的相反数是_.9. 的平方根是_；0.0001算术平方根是_；0的平方根是_10的算术平方根是_；的算术平方根的相反数是_11一个数的平方根是2，则这个数的平方是_12已知，则= 三.解答题13求下列各式中的（1）； （2）； （3）14小丽想在一块面积为36m2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2的长方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，为什么？15.思考题：
8、估计与最接近的整数【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2. 【答案】D；【解析】负数没有平方根.3. 【答案】A；【解析】解：A、=3，故A正确；B、3，故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、=3，故D错误；故选：A4. 【答案】B；【解析】被开方数为非负数.5. 【答案】C；【解析】没有平方根.6. 【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.二.填空题7. 【答案】11；16；9；3；.8. 【答案】；9. 【答案】；0.01；0.10.【答案】2；3； 【解析】4，9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】16； 【解析】一个数的平方根是2，则这个数是4，4的平方是16.12.【答案】578.9；【解析】解：，=578.9故答案为：578.9三.解答题13.【解析】解：（1） （2） （3） 14.【解析】解：不能，设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，则：2xx=30，2x2=30，x2=15，x=，则长方形纸片的长为2cm，因为26，而正形纸片的边长为cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的长方形15.【解析】解：253536即5635比较接近36，最接近的整数是6.
