1、第六章 实数6.4 实数章末复习（能力提升）【要点梳理】要点一：平方根和立方根 类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分： 实数按与0的大小关系分： 实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数（2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如0.1
2、010010001（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
3、.4.实数的运算：数的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题
4、例1、一个正数的x的平方根是2a3与5a，求a和x的值【思路点拨】根据平方根的定义得出2a3+5a=0，进而求出a的值，即可得出x的值【答案与解析】解：一个正数的x的平方根是2a3与5a，2a3+5a=0，解得：a=2，2a3=7，x=（7）2=49【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键举一反三：【变式1】已知，求的平方根。【答案】解：由题意得： 解得23，的平方根为3.【变式2】若和互为相反数,试求的值。【答案】解：和互为相反数, 37340 3（）3，1.例2、已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式的最大整数求MN的平方根【答案与解析】解：的所有整数有1，
5、0，1，2 所有整数的和M11022 2，N是满足不等式的最大整数 N2 MN4，MN的平方根是2.【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出MN的平方根类型二、与实数有关的问题例3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值【思路点拨】一个数是由整数部分小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.【答案与解析】解：是的整数部分，是它的小数部分，.【总结升华】可用夹挤法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：【变式】 若kk+1（k是整数），则k=（）A6B7C8D9【答案】
6、D解：kk+1（k是整数），910，k=9例4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若0，则；若0，则；若0，则.例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是： 请你参考小东同学的作法，比较与的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】解：【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.举一反三：【变式】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】；类型三、实数综合应用
7、例5、已知、满足，解关于的方程。【答案与解析】解：280, 0,解得4, ，代入方程：【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出、的值，再解方程.举一反三：【变式】设、都是实数，且满足，求代数式的值。【答案】解： ，解得.例6、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.小明的方法：，设（）.解得 .问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数、，若，且，则_(用含、的代数式表示)；（3）请用（2）中的结论估算的近似值. 【答案与解析】解：（1），设（）.解得 .（2），设（）.对比，（3），6
8、.083.【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准和，表示出.【巩固练习】一.选择题1已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2.下列式子表示算术平方根的是 （ ） A B C D3. 下列说法正确的有（ ）无限小数不一定是无理数； 无理数一定是无限小数；带根号的数不一定是无理数； 不带根号的数一定是有理数.A B C D 4. 下列语句、式子中 4是16的算术平方根，即4是16的算术平方根，即7是49的算术平方根，即7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 估计介于（）A0.4与0.5
9、之间B0.5与0.6之间C0.6与0.7之间D0.7与0.8之间6.下列运算中正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知:（ ） A.2360 B.2360 C.23600 D.236008. 27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A0B6C6或12D0或6二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若那么; (2)两数的和大于等于这两数的差; (3)若那么; (4)若 则; (5) (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数;10.若2xmny2与3x4y2m+n是同类项，则m3
10、n的立方根是11. 若，则 ，若，则 .12. 已知 : .13. 若有意义，则_.14. 阅读下列材料：设，则，则由得：，即.所以.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. ； 15. 方程 的解 _ .16. 若则的值等于_.三.解答题17. （2015春和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a9（1）求a的值，并求这个正数；（2）求179a2的立方根18. 如图所示，已知A、B两点的坐标分别为，（1）求OAB的面积和ACB的面积（结果保留一位小数）；（2）比较点A所表示的数与2.4的大小19. 把下列无限循环小数化成分数：（1） （2） （3）20细心观察右图，认真分析各式，然
11、后解答问题：； ； ，；（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ；（3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度；（4）你能计算出的值吗？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.2. 【答案】D；【解析】算术平方根的专用记号是“”根号前没有“”或“”号.3. 【答案】A；4. 【答案】C； 【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个.5.【答案】C【解析】2.235，11.235，0.617，介于0.6与0.7之间.6. 【答案】D；7. 【答案】D； 【解析】2.868向右移动1位，2
12、3.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，23600.8. 【答案】A； 【解析】，9的算术平方根是3，故选A.二.填空题9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；10.【答案】2.【解析】若2xmny2与3x4y2m+n是同类项，解方程得：m3n=23（2）=88的立方根是2故答案为：211.【答案】； 【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根.12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858.13.【答案】1；【解析】0，0，得0，所以1.14.【答案】； 【解析】设0.777，107.777，97, .设1.33
13、3，1013.333，912, .15.【答案】； 【解析】.16.【答案】1996； 【解析】由得1996，原式1995，1995，两边平方得1996.三.解答题17.【解析】解：（1）由平方根的性质得，a+2a9=0，解得a=3，这个正数为32=9；（2）当a=3时，179a2=64，64的立方根4，179a2的立方根为418.【解析】解：（1） ， ，BC1，ACOAOC （2）点A表示的实数为， 2.242.4， 2.242.4，即 19.【解析】解：(1) 设 则10 得96，即(2) 设 则 ，得9923，即.(3) 设 则 ，得999107， ，即.20.【解析】解：（1）（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（3）略
