1、第九章 不等式与不等式（组）9.5 不等式与不等式组章末复习（基础巩固）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“”(或“”)，“”（或“”），连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的
2、基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b0或ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边
3、界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式
4、组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用： 根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案【典型例题】类型一、不等式例1. 用适当的符号语言表达下列关系。（1）a与5的和是正数. （2）b与-5的差不是正数.（3）x的2倍大于x.
5、 （4）2x与1的和小于零.（5）a的2倍与4的差不少于5.【答案与解析】解：（1）a+50；（2）b-（-5）0； （3）2xx； （4）2x+10；（5）2a-45. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y的与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9.【答案】（1）； （2）；（3）。例2.用适当的符号填空：（1）如果ab，那么a-3_b-3； 7a_7b；-2a_-2b.（2）如果ab，那么a-b_0；a+5b_6b；.【思
6、路点拨】不等式的基本性质1,2,3【答案】（1）； ； （2）；【解析】（1）在不等式ab两边同减去3，得a-3b-3；在不等式ab两边同乘以7，得7a7b；在不等式ab两边同乘以2，得-2a-2b（2）在不等式ab两边同减去b，合并得a-b0；在ab两边同加上5b，合并得a+5b6b；在a；（2）【变式2】判断（1）如果，那么；（2）如果，那么.【答案】（1）；（2）类型二、一元一次不等式 例3. 解不等式【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形去分母时，不要忘记给分子加括号【答案与解析】 解：去分母，得8x+3(x+1)8-4(x-5)， 去括号，得8
7、x+3x+38-4x+20， 移项，得8x+3x+4x8+20-3，合并同类项，得15x25，系数化为1得不等式的解集为【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：axbaxbaxb解：当a0时，；当a0，b0时，无解；当a0，b0时，x为任意有理数解：当a0时，；当a0时，；当a0，b0时，无解；当a0，b0时，x为任意有理数解：当a0时，；当a时，；当a0，b0时，无解；当a0，b0时，x为任意有理数举一反三：【变式】解不等式，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：去分母得5x-1-3x3， 移项、合并同类项，得2x4， 系数化为1，得x2，解集在数轴上的表示如图所示例4.
8、某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）0x200a200x400bx4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：（2）设李叔家六月份最多可用电x度，根据题意得：2000.61+2
9、000.66+0.92（x400）300，解得：x450答：李叔家六月份最多可用电450度类型三、一元一次不等式组例5. 解不等式组： ，并求出正整数解。【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。【答案与解析】解：由不等式得2，由不等式得，由得，即原不等式组的解集是，正整数解为1,2【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解举一反三：【变式】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：解不等式得：x3，解不等式得：x2，不等式组的解集为3x2，在数轴上表示不等式组的解集为：类型四、综合应用例6.若关于x,y的方程组的解满足，求
10、k的整数值.【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.【答案与解析】解：解方程组，解得：, 整数k的值为0，1，2.【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.举一反三：【变式】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？【答案】解：由，得，解得当时，关于x的方程： 的解大于1.例7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且
11、余45个空座位（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆根据不等关系：两种车坐的总人数不小于175人；租车资金不超过1500元列不等式组分析求解【答案与解析】解：（1）设单独租用
12、35座客车需x辆，由题意得：,解得：.（人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人 （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ，解这个不等式组，得取正整数，= 2. 4 = 42 = 2（辆）.32024002 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系【巩固练习】一、选择题1. 已知ab0，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. abb2 B. a+cb+c C. bc2. 如图，天平右盘中的每个砝
13、码的质量都是1g，则物体A的质量m (g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）AA012B012A1D221C003.下列不等式变形正确的是（）A由ab得acbc B由ab得2a2bC由ab得ab D由ab得a2b24. 如果关于x的不等式 (a+1)xa+1的解集为x0B. a-1D. a-15. 5不等式组的正整数解的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个6. 以下各式中，一元一次不等式个数为（ ）；A. 1 B. 2 C. 3 D. 07.不等式9xx的正整数解的个数是（ ）A1 B2 C3 D无数个 8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组A1 B2 C3 D4二、
14、填空题9. 当x_时,代数式3x+5的值不大于410.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_.11不等式组的整数解是_.12已知，是正数，则的取值范围 .13不等式组 的解集为 14关于x的方程2x+3k=1的解是负数,则k的取值范围是_.15若不等式（）x2的解集是x,则的取值范围是_.16小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x页,所列不等式为_.三、解答题17我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加
15、了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？18. 在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处小明列出了一张对照表：从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题：（1）若不等式kxb的解集是x1，求方程kx=b的解；（2）若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kxb的解集19.解下列不等式（组），并把不等式的解集表示在数轴上（1） （2） 20某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别
16、为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？答案与解析一.选择题1. 【答案】D； 【解析】不等式的基本性质2. 【答案】A； 3. 【答案】C；4. 【答案】D； 【解析】不等号的方向改变，说明a+10，即a15. 【答案】B； 【解析】解得原不等式的解集为0x3,其中正整数有1、2，共2个6. 【答案】B； 【解析】是
17、一元一次不等式的是和.【答案】B； 【解析】解不等式得，则正整数解为1，2.【答案】C；【解析】，解得n=0、1、2，共组 二填空题9. 【答案】； 【解析】3x+54，解得10. 【答案】1、2；【解析】由图可得，所以正整数有1、211. 【答案】1，0；【解析】不等式组的解集为，整数解为-1，012. 【答案】； 【解析】由，解得3，化简得13. 【答案】1x214. 【答案】；【解析】解方程得，则15. 【答案】；【解析】由不等式的基本性质3得，0.16. 【答案】（或：等）【解析】答案不唯一三.解答题17.【解析】解：设小军答对道题，依题意得：3x（20 x），解得：.x为正整数，x的最小正整数为18.答：小军至少要答对18道题.18.【解析】解：（1）.（2）当时， 当19. 【解析】解：（1） 将解集表示在数轴上，如下图： （2） 将解集表示在数轴上，如下图：20.【解析】解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：，解得：；答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70a）台，则30a+40（70a）2500，解得：a30，答：最少需要购进A型号的计算器30台
