1、第八章 二元一次方程（组）8.4 实际问题与二元一次方程（组）【要点梳理】知识点一、常见的一些等量关系（一）1. 行程问题速度时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.2存贷款问题 利息=本金利率期数.本息和（本利和）本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数) .年利率月利率12.月利率年利率.3.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a4方案问题 在解决问题时，常常需合理安排需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运
2、用方程解答，得出最佳方案要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设
3、几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、行程问题例1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出 (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解(1)“同时开出相向而行”可用下图表示“同时开出同向而行”可用下图表示(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来【答案与解析】解
4、：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时根据题意，得，解得 答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得60(x+1)+100x480解得 答：快车开出小时两车相遇【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词举一反三：【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？【答案】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m由题意得
5、，答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h类型二、存贷款问题例2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息6075元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：解得：答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元【总结升华】利息贷款金额利息率.类型三、数字问题例3.一个两位数的数字之和为11，若把十位
6、数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（）A92B38 C47 D29【思路点拨】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解【答案】D【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，由题意得，解得：，则这个两位数为：29故选：D【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数十位数字10+个位数字；三位数百位数字100+十位数字10+个位数字举一反三：【变式】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把
7、个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（）A16B25C52D61【答案】A解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），由题意，得，解得所以这个两位数是：101+6=16类型四、方案选择问题例4.某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶求：2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？【思路点拨】设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程组求出即可；利用中所求分别求出平均每
8、瓶的价格进而得出答案【答案与解析】解：设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，可列式为3x+2y=92，又知5大箱、3小箱共150瓶，故可列式为5x+3y=150，即列方程组为，解得：，故2大箱有242=48（瓶）、5小箱有饮料：105=50（瓶），答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，大箱平均每瓶：4824=2（元），小箱平均每瓶：2510=2.5（元），所以买大箱合算【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组举一反三：【变式】某高
9、校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.【答案】解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：解得：答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.能供全校的5300名学生就餐.【巩固练习】一、选择题1.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速
10、度分别是（）A24km/h，8km/h B22.5km/h，2.5km/hC18km/h，24km/h D12.5km/h，1.5km/h2.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（）A86 B68 C97 D733.甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润按投资比例分成若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（ ）A2000元，5000元 B5000元，2000元C4000元，10000元 D10000元，4000元4今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹
11、妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）A BC D5. 爸爸将3000元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（）元A300040%2.79%B300040%2.79%2C300040%2.79%2+3000D300040%2.79%2+300040%6. 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟设自
12、行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米则方程组正确的是（ ）A.B.C. D.二、填空题7.甲、乙两人速度之比是2：3，则他们在相同时间内走过的路程之比是 2：3，他们在走相同路程所需时间之比是 3：28.小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元9.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是10.A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度
13、分别为 千米/时， 千米/时11. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”小刚却说：“只要把你珠子的给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是 颗12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”那么老师现在的年龄是 岁三、解答题13一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10求原来的两位数14.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
14、10min，从学校到家里需15min问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？15. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】设
15、这艘轮船在静水中的船速为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得，解得：2. 【答案】D；【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y则，解得故选D3. 【答案】C； 【解析】解：设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元， 2x+5x=14000，解得x=2000即甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元4. 【答案】C； 5. 【答案】D；【解析】先求出存款额（即本金），再根据求利息的计算公式，利息=本金年利率时间，求出利息加上本金即可6. 【答案】A；【解析】根据题意可得等量关系：自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；骑自行车所用时间+跑步所用时间=15
16、分钟，根据等量关系可得方程组.二、填空题7. 【答案】2：3，3：2； 【解析】根据路程=速度时间，得当时间一定时，则路程之比等于速度之比；当路程一定时，时间之比和速度之比成反比8. 【答案】300，200；【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据本金利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可9.【答案】52【解析】设个位数上的数字为x，十位数上的数字为y则x+y=7 10y+x27=10x+y 联立解得x=2，y=510【答案】17，3； 【解析】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，依题意得，答：这艘船在静水中的速度和
17、水流速度分别为17千米/小时，3千米/小时11.【答案】88；12.【答案】25； 【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的年龄+年龄差=37，据此可以设学生和老师现在的年龄分别为x岁、y岁，再列方程组求解三、解答题13.【解析】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：解得答：原来的两位数为2614.【解析】解：设平路有xm，下坡路有ym，根据题意得，解得：，答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m 15.【解析】解： (1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得：，解得(2)在超市A购买随身听与书包需花费现金：45280361.6(元)因为361.6400，所以可以选择在超市A购买在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元的购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2362(元)因为362400，所以也可以选择在超市B购买因为361.6362，所以在超市A购买更省钱
