1、第十八章 平行四边形18.2.3 正方形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1正方形具有而菱形不一定具有的性质是A对角线互相平分B对角线相等C对角线互相垂直D对角线平分对角【答案】B【解析】正方形具有矩形和菱形的所有性质，菱形的对角线具有：（1）对角线互相平分；（2）对角线互相垂直；（3）每条对角线平分一组对角；而菱形对角线不具有的性质是：对角线相等故选B2如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为A3B12C18D36【答案】C3已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：AB=BC；ABC=90；AC=BD；ACBD选两个作为补充
2、条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是ABCD【答案】B【解析】A选项中，由四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，可得四边形ABCD是菱形，结合ABC=90，可得四边形ABCD是正方形；B选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD及ABC=90只能证得四边形ABCD是矩形，不能证明四边形ABCD是正方形；C选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AB=BC可得四边形ABCD是菱形，结合AC=BD即可得到四边形ABCD是正方形；D选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合ABC=90可得四边形ABCD是矩形，再结合ACBD即可得到四边形ABCD是正方形故选B4如图，在菱
3、形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是ABD=ABBAC=ADCABC=90DOD=AC【答案】C5如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为A12B13C14D15【答案】B【解析】如图，过点P作PMBC于点M，由折叠得到PQAE，DAE+APQ=90，又DAE+AED=90，AED=APQ，ADBC，APQ=PQM，则PQM=APQ=AED，D=PMQ，PM=AD，PQMAED，PQ=AE=故选B6如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M
4、，则AMD的度数是A75B60C54D67.5【答案】B【解析】如图，连接BD，由已知条件可得；BCE=BCD+DCE=90+60=150，BC=EC，EBC=BEC=（180-BCE）=15，BCM=BCD=45，BMC=180-（BCM+EBC）=120，AMB=180-BMC=60，正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，BM=DM，AMD=AMB=60，故选B7如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为A6 cm2B8 cm2C16 cm2D不能确定【答案】B【解析】阴影部分的面积=SADC=S正方形ABCD=（4）2=16（cm2）故选C8如图，在正方形ABCD
5、中，AB=4，P是线段AD上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF的值为A2B4C4D2【答案】A9如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FHAE于H，过H作GHBD于G，下列有四个结论：AF=FH；HAE=45；BD=2FG；CEH的周长为定值，其中正确的结论有ABCD【答案】D【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，在正方形ABCD中，ADF=CDF=45，AD=CD，DF=DF，ADFCDF，FC=AF，ECF=DAF，ALH+LAF=90，LHC+DAF=90，ECF=DAF，FHC=FCH，FH=FC，FH=AF；（2
6、）如图1，FHAE，FH=AF，HAE=45；（3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，HFAE，HGBD，AFO+GFH=GHF+GFH，AFO=GHFAF=HF，AOF=FGH=90，AOFFGHOA=GFBD=2OA，BD=2FG；（4）如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CIHL，则LI=HC，IMC=ECM=45，由已知条件可得：DEM=DEA=FHC=DIC，由此可得MEC=CIM，又MC=CM，MECCIM，CE=IM，同理，可得：AL=HE，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8CEH的周长为8，为定值故结论都正确故选D二、填空题：
7、请将答案填在题中横线上10如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则BEA的度数是_度【答案】67.511如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边ABE，连接DE，CE，则CED的度数为_【答案】150【解析】四边形ABCD是正方形，BAD=ABC=ADC=BCD=90，AB=BC=CD=DA，ABE是等边三角形，AB=AE=BE，BAE=ABE=60，AE=AD=BE=BC，DAE=CBE=30，ADE=BCE=（180-30）=75，EDC=ECD=15，CED=180-15-15=150故答案为：15012如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的
8、交点，过O点作OEOF，OE、OF分别交AB、BC于点E、点F，AE=3，CF=2，则EF的长为_【答案】13如图所示，将五个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是_cm2【答案】【解析】如图，过点O作OEGH于点E，OFHM于点F，由已知条件易得EOF=GOM=90，OE=OF，OEG=OFM=90，EOG=FOM，EOGFOM，S四边形OGHM=S正方形OEHF=，n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：故答案为：三、解答题：解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤14如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF=45，求证：矩形ABCD是正方形15如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA=1，PD=2，PC=3，现将PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），求APD的度数【答案】135【解析】如图，连接PG，16已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积【解析】（1）如图，连接EF，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，FHBE，FH=B
10、E，FH=BG，CFH=CBG，BF=CF，BGFFHC17如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EFEC，且EF=EC，连接AF（1）求EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N求证：BD=AF+2DM【解析】（1）如图，过点F作FMAB并交AB的延长线于点M，BC=AB，EM=AB，EM-AE=AB-AE，AM=BE，FM=AM，FMAB，MAF=45，EAF=135（2）如图，过点F作FGAB交BD于点G由（1）可知EAF=135，ABD=45，EAF+ABD=180，AFBG，FGAB，四边形ABGF为平行四边形，AF=BG，FG=AB，AB=CD，FG=CD，ABCD，FGCD，FGM=CDM，FMG=CMD，FGMCDM（AAS），GM=DM，DG=2DM，BD=BG+DG=AF+2DM
