1、2023学年高考数学模拟测试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.ABCD2集合的子集的个数是（ ）A2B3C4D83已知函数（其中
2、为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD4已知f（x）=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么a+b的值是ABCD5已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB4，CACB，面PAB面ABC，则球O的表面积为（ ）ABCD6已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，则当时，的最大值是（ ）A8B9C10D117若变量，满足，则的最大值为（ ）A3B2CD108为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向右平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位9集合的真子集的个数为( )A7B8
3、C31D3210某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种ABCD11已知集合，定义集合，则等于（ ）ABCD12定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为_.14实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_15若实数满足不等式组，则的最小值是_16已知是夹角为的两个单位向量，
4、若，则与的夹角为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四边形中，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.18（12分）在三角形中，角，的对边分别为，若.（）求角；（）若，求.19（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.20（12分）对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(
5、)写出整数4的所有“正整数分拆”;()对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;()对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)21（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X为1名
6、顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.22（10分）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为的前n项和，求证：.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】易得，又，平方计算即可得到答案.【题目详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【答案点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.2、D【答案解析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数【题目详解】由题意，有三个元素
7、，其子集有8个故选：D【答案点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个3、B【答案解析】求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围【题目详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，在上只有一个极大值也是最大值，显然时，时，因此要使函数有两个零点，则，故选：B【答案点睛】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围4、B【答案解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x），且定义域关于原点对称，a1=2a，即可得解.【题目详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在a1，2a上
8、的偶函数，得a1=2a，解得a=，又f（x）=f（x），b=0，a+b=故选B【答案点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数5、D【答案解析】由题意画出图形，找出PAB外接圆的圆心及三棱锥PBCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥PBCD的外接球的半径，则答案可求.【题目详解】如图；设AB的中点为D；PA，PB，AB4，PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rABAD2；设外接球球心为O；CACB，面PAB面ABC，CDAB可得CD面PAB；且DC.O在CD上；故有：AO2OD2
9、+AD2R2（R）2+r2R；球O的表面积为：4R24.故选：D.【答案点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.6、B【答案解析】根据题意计算，解不等式得到答案.【题目详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，.是以1为首项，2为公比的等比数列，.，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【答案点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.7、D【答案解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【题目详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意
10、义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【答案点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题8、D【答案解析】，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D9、A【答案解析】计算，再计算真子集个数得到答案.【题目详解】，故真子集个数为：.故选：.【答案点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.10、C【答案解析】在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【题目详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，又因为名女干部不能单独成一
11、组，则不同的派遣方案种数为.故选：C.【答案点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.11、C【答案解析】根据定义，求出，即可求出结论.【题目详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【答案点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.12、B【答案解析】结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【题目详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.【答案
12、点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.【题目详解】当时，令，解得，所以当时，则单调递增，当时，则单调递减，当时，单调递减，且，作出函数的图象如图：（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；（2）若，则当时，方程整理得，则，此时各有1解，故当时，方程整理得，有1解同时有2解，即需，因为（2），故此时满足题意；或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；或有3解同时有0解，根据图象不存在此
13、种情况，或有0解同时有3解，则，解得，故，（3）若，显然当时，和均无解，当时，和无解，不符合题意综上：的范围是，故答案为：，【答案点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题14、【答案解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.【题目详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，由，得，代入，
14、得，所以点C的坐标为等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，故答案为：.【答案点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.15、-1【答案解析】作出可行域，如图：由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）所以-1故答案为-116、【答案解析】依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得；【题目详解】解：因为是夹角为的两个单位向量所以，又，所以，所以，因为所以；故答案为：【答案点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (2)
