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2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测数学(文)试题(解析版).doc

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资源描述

1、2020届安徽省六安市省示范高中高三1月教学质量检测数学(文)试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】B【解析】化简集合,按交集的定义,即可求解.【详解】,.故选:B【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2双曲线的渐近线方程是( )ABCD【答案】D【解析】根据双曲线的渐近线公式,即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程是.故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.3若“,”是真命题,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】对分类讨论,当,本等式恒成立;当,根据不等式恒成立,结合二次函数,可得出关于的不等式关系,即可得出结论.【详解】当时,本等式为,恒成立,

2、满足题意;当时,需,解得.综上,.故选:C【点睛】本题考查不等式恒成立,转化为二次函数有关问题,考查分类讨论思想,属于基础题.4已知非零向量,的夹角为,且,则( )AB1CD2【答案】A【解析】根据模长的性质和向量的数量积公式,即可求解.【详解】,整理得.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算,属于基础题.5设,则( )ABCD【答案】A【解析】,化简,利用指数函数的单调性,即可得出结论.【详解】,在上是增函数,所以,.故选:A【点睛】本题考查比较数的大小,考查函数的单调性,属于基础题.6执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断框内应填入的条件是( )ABCD【答案】C【解析】根据循环结构,

3、算出时,的值,即可求出结论.【详解】满足,退出循环体,所以条件语句是故选:C【点睛】本题考题循环结构中的条件语句,属于基础题。7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为( )A12里B24里C36里D48里【答案】B【解析】该人从第一天起每天走得路程成等比数列,且公比为,前6和为378,求出首项,得到通项公式,即可求解.【详解】该人从第一天起每天走得路程记

4、为,则是公比为的等比数列,解得,.故选:B【点睛】本题以数学文化为背景,考查等比数列前项和以及通项公式的基本运算,属于基础题.8如图,网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )ABCD【答案】D【解析】三视图还原成空间图形,该几何体为直三棱柱与半个圆锥的组合体,根据体积公式,即可求解.【详解】由三视图可得,该几何体是直三棱柱与半个圆锥的组合体,其中三棱柱的底面是等腰三角形且面积为2,侧棱长为4,半个圆锥底面半径为1,高为2,该几何体的体积为.故选:D【点睛】本题考查几何体的三视图求几何体的体积,解题的关键要确定几何体的结构特征,属于基础题.9定义在上的

5、函数满足:,当时,则不等式的解集为( )ABCD【答案】C【解析】根据已知条件,求出的解析式,分段解不等式,即可得出结论.【详解】当时,等价于,或,解得或.故选:C【点睛】本题考查求分段函数的解析式以及解对数不等式,属于基础题.10已知函数的图像关于点对称,将函数的图像向左平移单位长度后得到函数的图像,则的一个单调递减区间为( )ABCD【答案】B【解析】应用诱导公式和二倍角公式,化简,结合已知条件求出,再由正弦函数的图像变换关系,求出,求出其单调减区间,即可求解.【详解】 关于对称,的图像向左平移单位长度后得到函数的图像, 的递减区间需满足,解得.故选:B【点睛】本题考查三角函数的化简,对称

6、性,图像变换,以及函数的单调性,属于中档题.11已知函数,若,则函数极值点个数为( )A0或1B0或2C1或2D不确定【答案】C【解析】求,求变号根的个数,即可求解.【详解】,令,或,当时,舍去,经验证为极值点,此时函数有1个极值点;当,经检验和为极值点,此时函数有2个极值点.综上:函数极值点个数为1个或2个.故选:C【点睛】本题考查函数的极值点,考查分类讨论,属于中档题.12已知抛物线的焦点为,是抛物线上异于坐标原点的任意一点,以为圆心,为半径的圆交轴负半轴于点.平行于的直线与抛物线相切于点,设,两点的横坐标分别为和,则( )A-4B2C-2D4【答案】A【解析】抛物线准线方程为,设,求出以

7、为圆心,为半径的圆方程,求出点.坐标,根据斜率公式,求出的斜率,根据导数的几何意义,求出与抛物线相切于点直线的斜率,利用的斜率与直线相等,即可求解.【详解】,抛物线准线方程为,以抛物线焦点为圆心,为半径的圆方程为,令或, 点在轴负半轴上,抛物线相切于点直线的斜率为,平行于直线,.故选:A【点睛】本题考查抛物线性质,考查圆与直线的交点,以及应用导数的几何意义求切线的斜率,是一道综合题.二、填空题13若,则_.【答案】【解析】求出,再根据复数除法法则,即可求解,【详解】.故答案为:【点睛】本题考查共轭复数,以及复数代数运算,属于基础题.14若,满足约束条件,则的最小值为_.【答案】-1【解析】做出

8、可行域,结合几何意义,即可求解.【详解】做出可行域如下图所示:表示可行域内的点与连线的斜率,,其最小值为的斜率为.故答案为:【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,考查数形结合思想,求几何意义为直线斜率的目标函数的最值,属于基础题.15在三棱锥中,是等边三角形,平面,且的面积为1,则三棱锥的外接球表面积的最小值是_.【答案】【解析】设等边边长为,求出长和外接圆半径,根据三棱锥的外接球性质,结合平面,确定球心位置,求出半径,以及球的表面积,利用基本不等式,即可求解.【详解】设等边边长为,的外接圆圆心为,则外接圆半径,平面,过作平面,则三棱锥的外接球的球心在上,连,则,取中点,连,则,又平面

9、,所以,四边形为矩形,所以,所以外接球半径,三棱锥的外接球表面积,当且仅当,等号成立,三棱锥的外接球表面积的最小值是.故答案为:.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积最小值,确定球心是解题的关键,属于中档题.16已知函数,若函数有且仅有三个零点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由,或,有且仅有三个零点,函数与函数和函数有三个交点,做出函数的图像,即可求解.【详解】,或有且仅有三个零点,函数与函数和函数有三个交点,根据函数图像,.故答案为: 【点睛】本题考查复合函数的零点,考查数学结合思想,属于中档题.三、解答题17已知数列满足:,且是、的等比中项.()求数列的通项公式;()设,求数列的前

10、和.【答案】()()【解析】(1)根据等差数列定义,可得为等差数列,再由是、的等比中项,求出公差,即可求解;(2)由通项公式,用裂项相消法,可求的前和.【详解】解:()由可知道,数列是等差数列,且,解得,;(),所以.【点睛】本题考查等差数列的定义及其通项,考查用裂项相消法求数列的前项和,属于基础题.18在中,角,的对边分别为,已知向量,且满足:.()求的值;()若,求面积的最大值.【答案】()()【解析】(1)根据向量平行的坐标关系,得到关于三角形边角关系式,运用正弦定理,化边为角,结合两角和差公式,即可求解;(2)由(1)求出,用余弦定理得出关系式,运用基本不等式,可求出结论.【详解】解:

11、()由,得,在中,由正弦定理得,化简得,因,所以.()在中,由(1)得,由余弦定理得,所以,当且仅当时“”成立.因,所以当且仅当时,面积的最大值为.【点睛】本题考查向量平行的坐标关系,考查正余弦定理解三角形,以及基本不等式求最值,属于中档题.19如图,在以,为顶点的五面体中,面为正方形,.()证明:平面平面;()求点到平面的距离.【答案】()见解析()【解析】(1)由长度关系,可证,再结合已知条件,可证平面,即可证明结论;(2)求出三棱锥的体积和的面积,用等体积法,即可求解.【详解】解:()证明:因,所以,由正方形得,因平面,所以平面,因平面,所以平面平面.()因,平面,平面,所以平面,四边形

12、为等腰梯形,设点到平面的距离为,由得,解得,所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,要注意线段长度关系隐含线线垂直,考查等体积法,求点到平面的距离,属于中档题.20在第六个国家扶贫日到来之际,中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调,新中国成立70年来,中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨,坚持以人民为中心的发展思想,带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应习总书记的号召,实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略,效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示,近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数,其中为每天的时刻

13、.若在凌晨4点时刻,测得空气质量指数为21.8.()求实数的值;()求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:)【答案】()600;()12时.【解析】(1)将代入解析式,解关于 的方程,即可得出结论;(2)求,求出的单调区间,进而求出极值,即可求解.【详解】解:()由得,所以;()由得,由得.列表得12+0-增极大值减所以函数在时取极大值也是最大值,所以近期每天空气质量指数最高的时刻为12时.【点睛】本题考查函数应用问题,利用导数求函数的最值,考查计算能力,属于中档题.21在直角坐标系中,椭圆:,点在椭圆上,过点作圆的切线,其切线长为椭圆的短轴长.()求椭圆的方程;()直线与椭圆的

14、另一个交点为,点在椭圆上,且,直线与轴交于点.设直线,的斜率分别为,求的值.【答案】()()【解析】(1)根据圆的切线性质,求出,将点代入椭圆方程,即可求解;(2)根据已知条件求出直线方程,与椭圆方程联立,由韦达定理求出坐标关系,求出直线的斜率,可求出直线方程,进而求出点坐标,即可求出结论.【详解】解:()根据题目条件可知:,解得:.又因为点在椭圆上,所以,可得,故椭圆的标准方程为:.()直线的斜率为,因为,所以,直线的直线方程为:与椭圆的方程联立可得:,则.点的坐标为,直线的直线方程为:,则点解得,所以.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查计算能力,

15、属于中档题.22已知函数.()当时,求曲线在点处的切线方程;()若函数,对于任意,都有恒成立,求实数的取值范围.【答案】()()【解析】(1)求出,即可求解;(2)对于任意,都有恒成立,转化为,在恒成立,分离参数,构造函数,转化为与的最值关系,运用导数求出的最值,即可求解.【详解】解:()当时,又因为,所以曲线在点处的切线方程为:.()函数,由题意可得:,对恒成立,可转化为:,设,设,则,所以在区间上单调递增,又,存在唯一的,使得.当时,当时,又因为,所以,又,故实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查不等式恒成立问题,转化为函数的最值有关的不等式,要注意分离参数构造函数,利用导数研究函数的最值,属于较难题.第 17 页 共 17 页

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