1、2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】化简集合，根据交集的定义，即可求解.【详解】因为，所以，所以中元素的个数为3.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解.【详解】由，得，所以复数z在复平面内对应的点为，所以对应点位于第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3随着人口老
2、龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ）A83.5；83B84；84.5C85；84D84.5；84.5【答案】B【解析】根据茎叶图，即可求出小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数.【详解】解：A小区“空巢老人”年龄的平均数为，B小区“空巢老人”年龄的中位数为.故选：【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题.
3、4已知，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】化简c,利用对数函数的单调性，即可得出结论.【详解】因为，又因为在上单调递增，且，所以.故选:D.【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.5民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为和的巧板的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】分别求出和的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积.其中巧板是底边长为2的等腰直角
4、三角形，其面积为，巧板可看作是边长为的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为，故所求的概率.故选:C.【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6（ ）ABCD【答案】A【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题.7已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C，再取特殊值，即可求解.【详解】由图可知，该函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以选项C不符合；又因为，所以选项
5、A，B不符合.故选:D.【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题.8已知向量，若，则在上的投影为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先求出的坐标，根据，则得到，的关系式，由计算在上的投影.【详解】解：由，得，所以，则得，所以在上的投影为故选：【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题.9执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A-2B-6C-8D-12【答案】D【解析】将初始值，代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论.【详解】当，不满足条件；执行第一次循环：，不满足条件；执行第二次循环：，不满足条件；执行第三次循环：，不满足条件；执
6、行第四次循环：，满足条件；执行第五次循环：，满足条件，退出循环，所以输出S的值为-12.故选:D.【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.10设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F的直线的斜率在之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出的范围，从而求出离心率的取值范围.【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.【
7、点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题.11在如图所示的平面四边形ABCD中，则的最小值为（ ）A4B8CD【答案】B【解析】在中由三角函数求出，在中由余弦定理得，再由基本不等式可得即可求出的最小值.【详解】解：在中，因为，所以.在中，因为，所以由余弦定理得，即，又由不等式的性质可知，即得，所以，从而，当且仅当时等号成立.故选：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题.12已知函数，若存在，使不等式成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】将转化为关于的二次函数，配方求出的最小值，只需，解关于的不等式，即可得出结论.【详解】，可化
8、为.当时，所以当时，由题意可知，所以，从而得到，所以或或.故选:C.【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题.二、填空题13已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为_.【答案】【解析】求导，求出，即可得出结论.【详解】由，得，所以，又，所以切点为，所以切线方程为，即，令，得，所以切线在y轴上的截距为-2.故答案为:-2【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为_.【答案】【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值
9、，即可求解.【详解】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得，即（）.O为线段的中点，N为线段MF的中点，由中位线的性质得，代入（）式，解得，故其离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15已知等比数列的前n项和为，且，则满足不等式成立的最小正整数n为_.【答案】【解析】由，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论【详解】设数列的公比为q，由，得，所以或，又因为，所以，从而，所以.令，又因为，所以.故答案为:6【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16在平面直角坐标系xOy中，
10、圆与x轴，y轴的正方向分别交于点A，B，点P为劣弧AB上一动点，且，当四边形OAQP的面积最大时，的值为_.【答案】【解析】设，因为，所以四边形OAQP为平行四边形，所以，当时取得最大值，即可求出点的坐标，则的值可求.【详解】解：如图所示：则，因为点P在圆弧上运动，所以可设，则，因为，所以四边形OAQP为平行四边形，所以，当时，最大，此时点P与点B重合，点，.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题17在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】（1）由前项和与
11、通项关系，求出的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列的通项公式，用裂项相消法，即可求解.【详解】（1）因为，所以当时，上述两式相减并整理，得.又因为时，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2）由（1）可知，.所以.【点睛】本题考查由数列的前项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前项和，属于中档题.18第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世
12、界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下列联表：男性女性合计关注度极高351449关注度一般153651合计5050100（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有, （2）【解析】（1）根据列联表求出，比较数
13、据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1），所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关.（2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a，b，e，d，e；女性2人分别为A，B，从7人中任意选取2人的所有情况有：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB，共21种，其中这2人至少有一名女性
14、的情况有11种，所以，所以这2人中至少有一名女性的概率为.【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19在如图所示的三棱柱中，底面ABC，.（1）若，证明：；（2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1） ， 底面ABC，可证平面，即可求证；（2）取的中点F，连接，可证平面，求出三棱锥，根据等体积法，求出的面积，即可求解.【详解】（1）因为底面ABC，所以，又，所以平面，又平面，所以.（2）设点到平面的距离为d，所以，由题可知，所有棱长均为2a，所以在中，所以.取的中点F，连接，由题易知，从而得到平面，
15、所以是点到平面的距离，所以，又，所以由等体积法可知，即得，所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20在平面直角坐标系xOy中，点满足方程.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）作曲线C关于轴对称的曲线，记为，在曲线C上任取一点，过点P作曲线C的切线l，若切线l与曲线交于A，B两点，过点A，B分别作曲线的切线，证明的交点必在曲线C上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）将方程两边平方化简即得解；（2）求出曲线在处的切线方程，联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，设，分别求出曲线上在，两点处的切线，的方程，求出，的
16、交点，即可得证.【详解】（1）由，两边平方并化简，得，即，所以点M的轨迹C的方程为.（2）由（1）及题意可知曲线：，又由知，所以点处的切线方程为，即，又因为点在曲线C上，所以，所以切线方程为，联立消去整理得，设，所以，（）又由，得，所以曲线上点处的切线的方程为，即，同理可知，曲线上点处的切线的方程为，联立方程组，又由（）式得，所以，的交点为，此点在曲线C上，故，的交点必在曲线C上.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）当时，函数
17、没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【解析】（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值；（2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数的定义域为.（1）当时，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，有极大值，且极大值为，无极小值.（2）由，得.当时，恒成立，函数单调递增，当时，又，所以函数有且只有一个零点；当时，令，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以的极大值为，当，即得时，解得，此时函数没有零点；当，即时，函数有1个零点；当，即时，
18、.当时，令，则在上恒成立，所以，即，所以，故当且时，.当时，有，所以函数有2个零点.综上所述：当时，函数没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题.22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普
19、通方程，再运用 ，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为，（为参数），所以曲线C的直角坐标方程为，即，将，代入上式得.（2）直线l的参数方程为，（t为参数），将代入，整理得，设点M，N所对应的参数分别为，则，因为，异号，所以.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.【详解】（1）当时，不等式，即为，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，故不等式的解集为.（2）当时， ，由，得，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，因为函数在上单调递减，所以当时，取最大值为，故实数a的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.第 20 页 共 20 页
