1、2010年湖南高考理科数学真题及答案本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页时量120分钟，满分150分参考公式：锥体的体积公式为，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A BC D2下列命题中的假命题是A， B，C， D，3极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线4在中，则等于A B C8 D165等于A B C D6在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c若，则Aab BabCa=b Da与b的大小关系不能确定7在某种信息传
2、输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A10B11C12D158用表示a，b两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则t的值为A-2B2C-1D1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 .10如图1所示，过O外一点P作一直线与O交于A，B两点.已知PA=2，点P到O的切线长PT=4，则弦AB的长为 .11在区间-1，2
3、上随机取一个数x，则的概率为 .12图2是求的值的程序框图，则正整数 13图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数 （）求函数的最大值； （II）求函数的零点集合.17（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的
4、频率分布直方图. （I）求直方图中x的值； （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.18（本小题满分12分）如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论.19（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直
5、线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域 （）求考察区域边界曲线的方程； （）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间20（本小题满分13分）已知函数，对任意，恒有 （I）证明：当时， （II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.21（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点. （I）当a=0时，求通项 （II）是否存在a，使数列是
6、等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的14 CBAD 58 DABD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9171.81或48.21061112100134142152，三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16解：（I）因为所以，当，即时，函数取得最大值1. （II）解法1 由（I）及得，所以，或即故函数的零点的集合为解法2 由得于是，或即由；由可知故函数的零点的集合为17解：（I）依
7、题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. （II）由题意知，XB（3，0.1）.因此故随机变量X的分布列为X0123P0729024300270001X的数学期望为EX=30.1=0.3.18解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得B（1，0，0），E（），A（0，0，0），D（0，1，0），所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）依题意
8、，得设是平面A1BE的一个法向量，则由，得所以取设F是棱C1D上的点，则F（t，1，1）又所以D而平面A1BE，于是B1F/平面A1BE为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F/平面A1BE.解法2（I）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A2为正方形，所以EM/AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是，在中，即直线BE和平面ABB1
9、A1所成的角的正弦值为 （II）在棱C1D上存在点F，使B1F/平面A1BE. 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1/B1C1/BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此，D1C/A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG/D1C，从而EG/A1B，这说明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG/C1C/B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F/BG，而B1F平面A1BE
10、，BG平面A1BE，故B1F/平面A1BE.19解：（I）设边界曲线上点P的坐标为 当时，由知，点P在以A，B，为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长因而其方程为 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 （II）设过点P1，P2的直线为，过点P2，P3的直线为，则直线的方程分别为设直线平等于直线，其方程为代入椭圆方程消去y，得由解得m=8，或m=-8从图中可以看出，当m=8时，直线与C2的公共点到直线的距离最近，此时直线的方程为之间的距离为又直线到C1和C2的最短距离，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以故冰
11、川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.20解：（I）易知由题设，对任意的即恒成立，所以，从而于是故当时，有即当时， （II）由（I）知，当时，有令而函数的值域是因此，当时，M的取值集合为当时，由（I）知，此时从而恒成立.综上所述，M的最小值为21解：易知令 （1）若则当单调递增；当单调递减；当单调递增.故取得极小值. （2）若仿（1）得，在取得极小值. （3）若无极值. （）当时，由（1）知，因则由（1）知，因为，则由（2）知，.又因为则由（2）知，由此猜测：当时，下面先用数学归纳法证明：当时，事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当成立，则由（2）知，从而，所以故当时，成立.于是由（2）知，当时，因此综上所述，当a=0时， （II）存在a，使数列是等比数列，事实上，由（2）知，若对任意的n，都有，则即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且而要使，即都成立，只需对一切都成立.记令，则，因此，当时，从而函数在上单调递减，故当时，数列单调递减，即数列中最大项为于是当时，必有这说明，当时，数列是等比数列.当由（3）知，无极值，不合题意.当时，可得，数列不是等比数列.当由（3）知，无极值，不合题意.当，数列不是等比数列.综上所述，存在a，数列是等比数列，且a的取值范围为
