1、河北省衡水中学2017届高三下学期第四周周测理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】C【解析】试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集2. 如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：为将复数所对应的点逆时针旋转得，选B.考点：复数
2、几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为3. 下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）；A. B. C. D. 【答案】C考点：函数的极值4. 已知变量满足：，则的最大值为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数经过点时取得最大值，所以，故选D考点：简单的线性规划问题5. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B
3、考点：程序框图6. 两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前项和分别为，则，故选B考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的性质7. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ）来源:Z。xx。k.ComA. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2【答案】B【解析】试题分析：由题意知服从正态分布，则由正态分布图象的对称性可知，故选B考点：正态分布8. 函数的部分图象如图所示，的值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】A考点：三角函数的周期性.
4、【方法点晴】本题主要考查了三角函数部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.9. 若，则的值是（ ）A. -2 B. -3 C. 125 D. -131【答案】C【解析】试题分析：令，得；令，得，即又，所以，故选C考点：二项式定理10. 已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意
5、的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率，故选B考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系11. 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A. B. C. D. 来源:Z#xx#k.Com【答案】D考点：1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,
6、则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.12. 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高平面，即四面体的高为在中，由余弦定理，得，所以，所以由正弦定理可知的外接圆半径为设这个外接圆的圆心为，半径为，则由外接球的对称性可得在中，即，所以外接球表面积为，故选A考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）
7、将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为_【答案】【解析】该几何体可以看作是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为，因此体积为14. 已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为_【答案】1考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算15. 已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为_【答案】【解析】由题意得 ,因为过右焦点且斜率为1的直线与双曲
8、线的右支交于两点，所以 ,因此 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，10的因数有1,2,5,10，那么_【答案】来源:Z_xx_k.Com【解析】由题意得 所以来源:学_科_网Z_X_X_K三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的面积【答案】(1);（2
9、）【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较
10、的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值（只需写出结论）【答案】（1）（2）的分布列为：.（3）时，达到最小值.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为.乙组数据的平均数为.由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数，所以.（2）由题意，知的所有可能取值为0,1,2.且，所以的分布列为012所以.（3）当时，达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星
11、级卖场”的个数进行比较；（2）写出的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望19. 如图1，在边长为4的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析;（2）;（3）结论：在线段上不存在一点，使平面平面.【解析】试题分析：（1）易证得，结合可推出平面，从而推出，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角
12、公式求解；（3）假设存在点，求出平面的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出的值，从而作出判断（3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，平面平面，即，解得，在线段上不存在点，使得平面平面（12分 ）考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系20. 如图，已知椭圆，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与
13、椭圆相交于两点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值【答案】（1）或;（2）.【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线的方程，然后设的方程为.设，联立直线与椭圆的方程，得到间的关系，再由与点在线段上求得的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点到线段的距离，从而得到四边形的面积的表面式，进而求得其最大值试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点，则直线的方程为.设直线的方程为.设，其中，联立直线与椭圆的方程，消去，得方程.（3分）故，由知，得，由点在线段上，知，得，所以，化简，得，解得或.（2）根据点到直线的距离公式，知点到线段的距离分别为，又，所以四边形的面积为 ，当且仅当，即时，取等号，所
14、以四边形面积的最大值为.考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式21. 设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小【答案】(1) 当时， 的单调增区间为,当时，的单调增区间为，单调减区间为;(2);(3)见解析.【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，单调增区间为时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相
15、邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.试题解析:(1)解： 当时，函数在上单调递增，函数的单调增区间为当时，由，得；由，得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为. (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.不妨设，则，.两式相减得，即所以.因为，当时， 当x时，故只要证即可，即证明，即证明，即证明.设令，则.因为，所以，当且仅当t1时，所以在上是增函数又，所以当时，总成立所以原题得证点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，
16、确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；来源:Z,xx,k.Com（2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值【答案】(1) 的普通方程为,圆C的直角坐标方程为. (2). 【解析】试题分析：(1
17、) 由加减消元得直线的普通方程，由可得圆C的直角坐标方程(2)根据直线参数方程几何意义得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程，并利用韦达定理得.试题解析：(1)由得直线的普通方程为又由得圆C的直角坐标方程为即. (2) 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 ，即由于，故可设是上述方程的两实数根，所以又直线过点，两点对应的参数分别为所以.23. 选修4-5：不等式选讲（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；（2）若，求的最大值【答案】（1）时，为常函数; （2）3. 考点：1、零点分段法；2、柯西不等式附加题：24. 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过的右顶点和上顶点（
18、1）求椭圆的方程；（2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；若直线的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围【答案】(1) ；(2)；【解析】试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) 直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；将中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围 (2) 若直线斜率均存在，设直线,则中点. 先考虑的情形.由得.由直线过点，可知判别式恒成立
19、.由韦达定理，得，故，将上式中的换成，则同理可得.若，得，则直线斜率不存在. 此时直线过点.下证动直线过定点. 当直线的斜率均存在且不为时，由可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得,所以.同理， ，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为.考点：1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系25. 已知函数（为自然对数的底数，），（1）若，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，求使的图象恒在图象上方的最大正整数【答案】(1) ；(2) ；(3) 【解析】试题分析：(1)先求函数
20、导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数 试题解析：(1) 时，,； 当时，在上为增函数，此时，当时，在上为增函数，故在上为增函数，此时当时，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则
21、此时，综上所述： （2），在上单调递减，在上单调递增，在上恰有两个相异实根， ，实数的取值范围是，（3）由题设：，（*），故在上单调递减，在上单调递增，（*），设，则，在上单调递增，在上单调递减，而，且，故存在，使，且时，时，又，时，使的图像恒在图像的上方的最大整数26. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据注：（1）表中表示出手次命中次；（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： （1）从上述9场比
22、赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率；（2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率；（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由【答案】（1）；（2）；(3) 不具有线性相关关系【解析】试题分析：（1）从表中计数，易建联在比赛中超过的场次为8，由古典概型概率公式可得概率；（2）从9场比赛中任选2场共有36种选法，两场中都不超过的有10种选法，因此至少有一场超过的有26种选法，由此可得所求概率；（3）两人变量呈线性相关，在散点图所对应的点必须靠近某条直线，本题中显然不靠近一条直线，因此不是线性相关
