1、 精品资料公众号：卷洞洞 全国名校 2020 年高三 5 月大联考（新课标 I 卷）理科数学答案及评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D B B D C C D C D A C 二、填空题 13210 xy 141560 1515 162 三、解答题 17（12 分）【解析】（1）由1sin2SabC，及2cos2 3bbcabCS，得2cos3sinbbcabCabC，即cos3 sinbcaCaC，由正弦定理sinsinsinabcABC，得sinsinsincos3sinsinBCACAC，（3 分）又sinsin()sincoscossinB
2、ACACAC，所以cossinsin3sinsinACCAC，又sin0C，所以cos13sinAA，即3sincos1AA，1sin()62A，因为0A，所以66A，3A.（6 分）（2）方法一：由余弦定理，得2222cos,3abcbc即22()3abcbc，又ABC的周长为12abc，则12()abc，因此2212()()3bcbcbc，即14424()3bcbc，488()16bcbcbc，当且仅当bc时取等号.（8 分）设(0)bct t，则216480tt，(12)(4)0tt，又12()0abc，则12bc，根据2bcbc，所以6bc，即6t，因此由(12)(4)0tt，得04t
3、，则当bc时，t取得最大值4，即bc取得最大值16，（10 分）又ABC的面积为13sin4 324SbcAbc，因此ABC的面积的最大值为4 3.（12 分）公众号：卷洞洞 精品资料公众号：卷洞洞 方法二：ABC的面积为2133()sin23444bcSbcbc，当且仅当bc时取等号，（8 分）又3A，则当bc时，ABC为等边三角形，又ABC的周长为 12，则4bca，（10 分）故2max3(44)4 344S.（12 分）18（12 分）【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，得ABBC，根据平面ABP 平面ABC，平面ABP平面ABCAB，BC 平面ABC，所以BC 平面ABP，则BCA
4、P，（2 分）又APPC，根据BCPCC，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以AP 平面PBC，又PB平面PBC，因此APPB.（5 分）（2）过点P作POAB于点O，由于平面ABP 平面ABC，所以PO 平面ABC，以OB所在直线为x轴，过O作y轴平行于BC，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知CB 平面ABP，所以CPB是直线PC与平面ABP所成的角，即3sin4CPB，在PBC中，90CBP，3sin4CBCPBCP，设3CB，则4CP，22437PB，（7 分）由于PO 平面ABC，所以可以取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m，（8 分）由（1）知，A
5、PPB，所以在直角三角形APB中，POAB，3AP，4AB，7PB，所以94AO，74BO，3 74PO，于是3 7(0,0,)4P，9(,0,0)4A，7(,3,0)4C，(4,3,0)AC，93 7(,0,)44AP，设平面PAC的法向量为(,)x y zn，则由00ACAPnn，得43093 7044xyxz，取3x ，则9(3,4,)7 n，（10 分）公众号：卷洞洞 精品资料公众号：卷洞洞 则997cos,|16819167m nm nmn，显然二面角PACB的平面角为锐角，所以二面角PACB的余弦值为916.（12 分）19（12 分）【解析】（1）过点(2,1)P且斜率为0的直线
6、与椭圆C只有一个公共点，则1b，设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆C的离心率为63，所以63cea，（2 分）根据222abc，得22213aa，则23a，因此椭圆C的标准方程为2213xy.（4 分）（2）当直线l的斜率存在时，设直线:l ykxm，代入2213xy，得222(31)6330kxkmxm，设1122(,),(,)A x yB xy，根据根与系数的关系，得2121222633,3131kmmxxx xkk，（6 分）设0(3,)Qy，由点,B P Q三点共线，直线AQ的斜率为 1，得0110221311322yyxyyx，消去0y，得211213=12yyxx，即2121212(2
7、)2()30 xyyx xxx，（7 分）根据1122,ykxm ykxm，得2121212(2)()()2()30 xkxmkxmx xxx，122112(1)()22()330kx xmk xkxxxm，21122233612(1)()()2330313131mkmkmkmkxkxmkkk，21222(33)(1)6()1233()0313131mkkm mkkmmmk xkkk，222212433()031k mkmkmmkmkmk xk，12()()(3)3()031km kmkmmk mkmk xk，12()(13)3()031km kmmkmk xk，当0mk时，等式恒成立，此时直
8、线:l ykxk，恒过点(1,0)，由于点(1,0)在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C有两个交点.（10 分）公众号：卷洞洞 精品资料公众号：卷洞洞 当直线l的斜率不存在时，设直线l：3xx，3333(,),(,)A x yB xy，且223313xy，设0(3,)Qy，由点,B P Q三点共线，直线AQ的斜率为 1，得0330331311322yyxyyx，化简得333(1)(3)0 xyx，则31x，故直线l恒过点(1,0).综上，可得直线l经过定点(1,0).（12 分）20（12 分）【解析】（1）()e(1)e(1)eaxaxaxfxa xaxa，当0a 时，()1f xx，()f
9、x在(,)上是增函数；当0a 时，令()0fx，则1axa，令()0fx，则1axa，所以()f x在1(,)aa 上是减函数，在1(,)aa上是增函数；（2 分）当0a 时，令()0fx，则1axa，令()0fx，则1axa，所以()f x在1(,)aa上是减函数，在1(,)aa 上是增函数.综上，当0a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当0a 时，()f x的单调递增区间为1(,)aa，单调递减区间为1(,)aa；当0a 时，()f x的单调递增区间为1(,)aa，单调递减区间为1(,)aa.（4 分）（2）当0a 时，对任意的0 x，有10ax，若1x ，则10 x
10、 ，所以()0f x，于是有()1f xax 成立.令()e1(0)xh xxx，则()e10 xh x，()h x在0,)上是增函数，所以()(0)0h xh，即e1xx，若10 x，因此有e1axax，即11eaxax，又10ax，所以1e1axax，根据10 x，可得10 x ，于是221(21)()(1)(1)e(1)(1)11axxaxa xf xaxxaxaxaxax，其中22(21)0,0axa x，所以()(1)0f xax，即有()1f xax 成立.因此，当0a 时，对任意的0 x，有()1f xax 成立，符合题意.（7 分）令()()(1)(1)e(1)axg xf x
11、axxax，则对任意的0 x，有()0g x 恒成立，公众号：卷洞洞 精品资料公众号：卷洞洞()(1)eaxg xaxaa，令()()m xg x，则()(2)eaxm xa axa，当102a时，若0 x，则(2)0a axa，()0m x，所以()m x在(,0上是减函数，则()(0)210m xma，于是()g x在(,0上是增函数，则()(0)0g xg，符合题意.（9 分）当12a 时，(0)210ga，(1)eaga，根据e1(0)xxx，得(1)e110agaaa ，所以存在0(1,0)x ，使得0()0g x，且当00 xx时，()0g x，于是()g x在0(,0)x上是减函
12、数，()(0)0g xg，这与()0g x 恒成立矛盾，不符合题意.因此，实数a的取值范围是1,)2.（12 分）21（12 分）【解析】（1）当 m=3，n=4 时，对一个周期而言，有 m=3 个钩子通过每一工作台上方，则每个挂钩被一名工人触到的概率是13；（1 分）由工人生产的独立性，可知任一只钩子不被挂上产品的概率是4116(1)381，（2 分）即每只钩子为空钩的概率1681p，（3 分）故传送系统的效率163(1)(1)65814108smpDnn.（4 分）（2）对一周期而言，有 m 个钩子通过每一工作台上方，则每个挂钩被一名工人触到的概率是1m；（5 分）由工人生产的独立性，可知
13、任一只钩子不被挂上产品的概率是1(1)nm，（6 分）则传送系统的效率11(1)nmmnD，（8 分）若 m 远大于 n，则22111(1)1(1)122nmmnnnnDnmnmmm.（10 分）欲使D提高，需12nm减小，而n不可能无限增加，所以有效的方法是通过增加一个周期内钩子的数量来提高传送效率（12 分）22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）由题意知边OB的极坐标方程是0(02)，边BC的极坐标方程是cos2(0)4，公众号：卷洞洞 精品资料公众号：卷洞洞 边CD的极坐标方程是sin2()42，边OD的极坐标方程是(02)2.（4 分）（2）由题意，设POB，则|c
14、os2OP，2|cosOP，且|sin()24OQ，2|sin()4OQ，（7 分）则POQ的面积11222|sinsin22cos4cos(sincos)sin()4SOP OQPOQ 24444(21)11sin21cos221sin2(1cos2)2sin(2)1224，当242，即8时，POQ的面积取得最小值4(21).（10 分）23选修 45：不等式选讲（10 分）【解析】（1）当1a 时，()4f x|1|2|4xx，化为1124xx 或1234x 或2214xx，（2 分）解得32x 或x无解或52x，所以32x 或52x，所以不等式()4f x 的解集为3|2x x 或52x（4 分）（2）由题意得1zyz的取值范围是()f x值域的子集 122yz，421yz，142442226zzyzzyzyyzyzyzyz，（6 分）当且仅当4zyyz，即11,84yz时，取等号，1zyz的取值范围是6,)，（7 分）由于()|2|()(2)|3|f xxaxaxaxaa，()f x的值域为3|,)a，（8 分）由题意得3|6a，即|2a，22a，（9 分）即实数a的取值范围是 2,2（10 分）公众号：卷洞洞
