1、 数学（理科）参考答案第 1 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 1 页 共 8 页 长沙市长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 数学（理科）参考答案及评分标准数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1A 2D 3A 4D 5A【解析】设一个这种元件使用1年的事件为 A，使用 2 年的事件为 B，则()0.6()0.75()0.8P ABP B AP A=，故选 A
2、.6C【解析】不妨设点P在渐近线=yx上，又00(,)P x x在圆222xy+=上，所以01x=，1 212 2 122PF FS=故选 C.7D【解析】CA AOAC AO=?,由数量积的几何意义知，32AC AO=?，故32CA AO=?8B【解析】该三视图表示的几何体是棱长为2的正方体中挖去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，故该不规则几何体的体积为 8 9D【解析】取BC的中点D，连结PD，则4PD=，2BPD=，在Rt PBD中，由3tan24=，得3BD=所以(2,2),(4,2)BC，,BP CP的中点都是()f x图象的对称中心，故选D 10A【解析】函数2()()(2)()2
3、g xf xaf xa=+有三个零点，解方程2()(2)()20f xaf xa+=，得()2f x=或()f xa=由图象知，方程()2f x=有一个实根，所以方程()f xa=有两个不等实根，则12a 在C上，所以28a=，解得2 2a=或2 2a=（舍去），故直线AF的方程为2 2(2)yx=，由22 2(2),8,yxyx=消去y，得 数学（理科）参考答案第 2 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 2 页 共 8 页 2540 xx+=，解得11x=，24x=，由抛物线的定义，得426BF=+=，所以9AB=，故选C 12B【解析】,M N两点间的距离的最小值等于直线1BD与平面AE
4、C的距离，而直线1BD与平面AEC的距离等于B到平面AEC的距离，而B到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离设=ACBDO，连EO，过D作DHEO于H，则OH即为D到平面AEC的距离，易得6=6OH，故选B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13 12 .【解析】由S13=52，得113(6)52ad+=，所以164ad+=，于是 48913(6)12aaaad+=+=14 16 .【解析】分三类选A不选B，共有24C种选法，选B不选A，共有24
5、C种选法，选A且选B，共有14C种选法，故学生甲共有66416+=种选法 15 1.【解析】由已知可得13cos,sin22=，所以1cos22=，3sin22=.1133cos 2cos2 cossin2 sin()13332222+=.16()1,3,16+.【解析】由20axbxc+恒成立可知204abac 设,bcxyaa=，则24,9,4xyy，则(1)121(0)(1)11fxyyffxx+=+令21yzx+=，则z表示区域内的点(,)x y与(1,2)P连线的斜率.因为9(3,)4A，所以92174416PAk=数学（理科）参考答案第 3 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 3
6、 页 共 8 页 设直线PB：(1)2yk x=，联立24(1)2xyyk x=得24480 xkxk+=，216163201kkk=，2k=，由图可知，17(,)(2,)16 +z，故(1)1(,)(3,)(0)(1)16 +fff 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60
7、分分.17（本小题满分12分）【解析】（I）由题设得sincos2AaCc=.2分 由正弦定理得 sincos2AA=，4分 所以1sin22A=.5分 故60A=.6分（）由题设得1sin32bcA=，从而4bc=.8分 由余弦定理2222cosabcbcA=+，得22()12abc=+.10分 又8abc+=，故22(8)12aa=，解得134a=12分 18（本小题满分12分）【解析】（）设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得2PAPBPC=，1PO=，1AOBOCO=.因为在PAC中，PAPC=，O为AC的中点，所以 POAC，因为在POB中，1PO=，1OB=，2PB=，222
8、+=POOBPB，所以 POOB 3分 因为=ACOBO，,AC OB 平面ABC，所以 PO 平面ABC，因为PO 平面PAC，所以平面PAC平面ABC 5分（）由（）知，,BOPO BOAC，BO 平面PAC，所以BMO是直线BM与平面PAC所成的角，OPCAB 数学（理科）参考答案第 4 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 4 页 共 8 页 且1tanBOBMOOMOM=，6分 所以当OM最短时，即M是PA的中点时，BMO最大 7分 由PO 平面ABC，OBAC，所以POOB，POOC，于是以,OC OB OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则(0,0,0)O
9、，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A，(0,0,1)P，11(,0,)22M，(1,1,0)=?BC，(1,0,1)=?PC，31(,0,)22=?MC 8分 设平面MBC的法向量为111(,)=x y zm，则 由00，=?BCMCmm得：1111030，=xyxz 令11x=，得11y=，13z=，即(1,1,3)=m 9分 设平面PBC的法向量为222(,)=xyzn，由00，=?BCPCnn得：222200，=xyxz，令1x=，得1y=，1z=，即(1,1,1)=n 10分 55 33cos,|3333=m nn mmn 11分 由图可知，二面角PBCM的余弦值为5
10、 3333 12分 19（本小题满分12分）【解析】（）连接2AF，由题意得21ABF BFB=，所以BO为12F AF的中位线，又因为12BOFF，所以212AFFF，且 22823=bAFBOa，3分 又2221=3，=+ceabca，得229,8ab=，故所求椭圆C的标准方程为22198xy+=5分（）由题可知，1l的方程为3x=，2l的方程为3x=直线l与直线1l、2l联立得(3,3)Mkm+、(3,3)Nkm+，数学（理科）参考答案第 5 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 5 页 共 8 页 所以1(2,3)=+?FMkm，1(4,3)=+?FNkm，所以2211=89+?iFM
11、 FNmk 7分 联立22198xyykxm+=+得222(98)189720kxkmxm+=.因为直线l椭圆C相切，所以222(18)4(98)(972)0kmkm=+=，化简得2298mk=+9分 所以2211=890+=?iFM FNmk，所以11?FMFN，故1MF N为定值2 10分 同理2(4,3)=+?F Mkm，2(2,3)=+?F Nkm，所以22?F MF N，22MF N=.故12=MFNMF N 12分 20（本小题满分12分）【解析】（）应该选择模型，因为模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 2分（）（）剔除异常数据，
12、即月份为3的数据后，得 x15(766)7.2；15y=(30631.8)29.64 51iiix y=1464.24631.81273.44；()521iix=36462328 6分 368.8206.47.27.2532829.647.251273.44512251=iiiiixnxyxnyxb；aybx=29.6437.2=8.04，所以 y 关于 x 的线性回归方程为：y3x8.04 9分（）把18=x代入回归方程得：y3188.04=62.04，故预报值约为62.04万元 12分 数学（理科）参考答案第 6 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 6 页 共 8 页 21（本小题满分1
13、2分）【解析】【解析】（）由题设知，()(1ln)(0)xafxeax xx=+，()()1lnxag xefxaxx=+，2(1)()(0)a xg xxx=.2分 当(0,1)x时，()0g x，()g x在区间(1,)+上单调递增，故()g x在1x=处取到最小值，且(1)1=+ga 由于()2g x 恒成立，所以121aa+4分（）设()()(1ln)xah xfxeaxx=+，则22()(1ln)=+xaah xeaxxx 设22()1lnaaH xaxxx=+，则223322(22)()0aaaa xxH xxxxx+=+=，故()H x在(0,)+上单调递增 6分 因为2a，所以
14、(1)10Ha=+，1()1ln202=+xxah xh xeaxeax，即()f x单调递增 由于1()0H x=，即121121ln0aaaxxx+=，即121121lnaaaxxx+=，所以111110211 2()(1ln)0()xxxf xeaxaef xx=+=.11分 又由（）可知，()f x 在(0,)+单调递增，因此10 xx，所以122(cossin)+=+，8分 根据极坐标的几何意义，OA，OB分别是点A，B的极径.从而：OAOB+12=+()2 cossin=+2 2sin()4=+.当0,4时，,44 2+，故OAOB+的取值范围是(2,2 2.10分 23（本小题满
15、分10分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲【解析】（）(1)(1)111ffaa+=+，1分 若1a，则111+aa，得21，即1a 时恒成立；2分 若11a，得12a，即112a，得21，此时不等式无解.4分 综上所述，a的取值范围是1(,)2.5分（）由题意知，要使不等式恒成立，只需maxmin5()4f xyya+.6分 当(,xa 时，2()f xxax=+，2max()()24aaf xf=.7分 因为5544yyaa+，所以当5,4ya 时，min555444yyaaa+=+=+.8分 于是2544aa+，解得15a.9分 结合0a，所以a的取值范围是(0,5.10分 数学（理科）参考答案第 8 页 共 8 页数学（理科）参考答案第 8 页 共 8 页
