1、公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435801黄金卷黄金卷 03备战备战 2020 年新高考全真模拟卷年新高考全真模拟卷数学数学注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 4
2、0 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合|1213Axx ，2|logBx yx，则AB（）A0,1B1,0C1,0D0,1【答案】A【解析】因为|1213 1,1Axx ，2|log(0,)Bx yx，所以0,1AB（，故选 A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2已知复数23zi，则复数z的共轭复数z（）公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435802A3122iB1322iC3122iD1322i【答案】A【解析】因为22(3)323(3)(3)iiziii，所以3122zi.故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属
3、于基础题.3如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省B与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长C2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元D2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个【答案】D公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435803【解析】对于 A，从折线统计图可得，2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五，对于 B，从折线统计图可
4、得，与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长率都为正值，所以与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长，对于 C，根据统计图可计算 2017 年同期河南省的 GDP 总量为4067.43815.640001.066，所以 2017年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元，对于 D,2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南，综述只有 D 选项不正确，故答案选 D【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关
5、键，属于基础题4 将余弦函数 ycosx 的图象向右至少平移 m 个单位，可以得到函数 ysinx 的图象，则 m()A2BC32D34【答案】C【解析】根据诱导公式得，ysinxcos32xcos32x，故欲得到 ysinx 的图象，须将 ycosx 的图象向右至少平移32个单位长度5如图，已知AP 43AB，用OA，OB 表示OP，则OP 等于()公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435804A13OA 43OB B13OA 43OB C13OA 43OB D13OA 43OB【答案】C【解析】OP OA AP OA 43AB OA 43(OB OA)13OA 43OB，选 C
6、.6若0,0 xy，且211xy，227xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A(8,1)B(,8)(1,)C(,1)(8,)D(1,8)【答案】A【解析】由基本不等式得2144224248yxy xxyxyxyxyxy，当且仅当4,0yxx yxy，即当2xy时，等号成立，所以，2xy的最小值为8.由题意可得2min728mmxy，即2780mm，解得81m.因此，实数m的取值范围是(8,1)，故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9
7、0294358057已知函数22()1loglog(4)f xxx，则（）A()yf x的图像关于直线2x 对称B()yf x的图像关于点(2,1)对称C()f x在(0,4)单调递减D()f x在(0,4)上不单调【答案】B【解析】040 xx，得函数定义域为(0,4)，222(1)1 loglog(4 1)1 l13ogf ，222(3)1 loglog(4 3)1 l33ogf ，所以(1)(3)ff，排除 A；(1)(3)ff，排除 C；2log x在定义域内单调递增，2log(4)x在定义域内单调递减，故22()1loglog(4)f xxx在定义域内单调递增，故排除 D；现在证明
8、B 的正确性：2222()(4)1 loglog(4)1 log(4)log2f xfxxxxx ，所以()yf x的图像关于点(2,1)对称，故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.8已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435806段BF与双曲线C的右支交于点A，若2BAAF，且4BF ，则双曲线C的方程为（）A22165xyB221812xyC22184xyD22146xy【答案】D【解析】设0,0,BbF cA x y，则,BAx ybBFcb ，故由题设可
9、得23BABF ，即21,33xc yb代 入 椭 圆 方 程 可 得：22224102599ccaa，又4BF ，故222216216bcca，即224164aa，所以26b，应选答案 D。点睛：本题以双曲线的的有关知识为背景，旨在考查双曲线的标准方程与几何性质等基础知识的综合运用及掌握程度，求解时先借助题设条件中的向量满足的条件，运用向量的坐标形式建立方程，最后通过解方程使得问题获解。二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9下列关于各事件发生的概率判断正确的是
10、（）A从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为23B四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14C一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为13D已知集合2,3,4,5,76,A，2,3,6,9B，在集合AB中任取一个元素，则该元素是集合公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435807AB中的元素的概率为35【答案】ABC【解析】对于 A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），共 3 种情况，其中，甲被选中的情况有 2 种
11、，故甲被选中的概率为23P，故 A 正确；对于 B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括135（，），13 7（，），15 7（，），35 7（，）四种情况，而能构成三角形的基本事件只有35 7（，）一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14P，故 B 正确；对于C，该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找 1 到食物，所以获得食物的概率为2163，故 C.正确；对于 D，因为2,3,4,5,6,7,9AB，2,3,6AB，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37，故 D 错误.故选 ABC.【点睛】本题考查的是
12、古典概型，熟练掌握古典概型的概率计算公式是解题的关键10设函数 sin06f xx，已知 fx在0,有且仅有 3 个零点，对于下列 4 个说法正确的是（）A在0,上存在12,x x，满足122fxfxB fx在0,有且仅有 1 个最大值点C fx在0,2单调递增D的取值范围是13 19,66公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435808【答案】AD【解析】对 A，fx在0,有且仅有 3 个零点，则函数的最小正周期T，所以在0,上存在12,x x，使得121,1f xf x，所以122fxfx可以成立，故 A 正确；对 B，由 D 选项中前 4 个零点分别是：71319,6666，得
13、0131986623x，此时083x可使函数()f x取得最大值，因为13 19,66，所以1681619313，所以 fx在0,可能存在 2 个最大值点，故 B 错误；对 C，由 D 选项中13 19,66，所以176612x，区间17(,)612不是0,2的子区间，故 C 错误；对 D，函数sin6yx在y轴右侧的前 4 个零点分别是：71319,6666，则函数 sin06f xx在y轴右侧的前 4 个零点分别是：71319,6666，因为 fx在0,有且仅有 3 个零点，所以13,13 196,1966,6，故 D 正确；故选：AD.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，对三角函数的中
14、对图象的影响作用做了深入的考查，求解时要能灵活地运用伸缩变换，研究函数的图象特征，考查数形结合思想、函数与方程思想，同时要注意懂得先判断 D 选项的正确性，再利用的范围为判断 B，C 选项服务.11已知函数22,0()(2),0 xx xf xf xx，以下结论正确的是（）公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：9029435809A(3)(2019)3ff B fx在区间4,5上是增函数C若方程()1f xk x恰有 3 个实根，则11,24k D若函数()yf xb在(,4)上有 6 个零点(1,2,3,4,5,6)ix i，则 61iiix f x的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函
15、数()f x的图象如图所示：对 A，(3)963f ，(2019)(1)(1)1fff，所以(3)(2019)2ff，故 A 错误；对 B，由图象可知 fx在区间4,5上是增函数，故 B 正确；对 C，由图象可知11,24k，直线()1f xk x与函数图象恰有 3 个交点，故 C 正确；对 D，由图象可得，当函数()yf xb在(,4)上有 6 个零点(1,2,3,4,5,6)ix i，则01b，所以当0b 时，610iiix f x；当1b 时，616iiix f x，所以 61iiix f x的取值范围是0,6，故 D 正确.故选：BCD.公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294
16、358010【点睛】本题考查利用函数的图象研究分段函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时画出函数图象是求解问题的关键.12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，2,0A，4,0B，点P满足12PAPB.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）AC的方程为22416xyB在C上存在点M，使得2MOMAC当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的平分线D在三棱锥中PABC，PA 面ABC，且3PA，6BC，2ACAB，该三
17、棱锥体积最大值为 12【答案】ACD【解析】A设,P x y，因为12PAPB，所以22222124xyxy，所以2280 xxy，所以22:416Cxy，故正确；B设存在00,M xy满足，因为2MOMA，所以2222000022xyxy，公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358011所以2222000042xyxy，所以220001616033xxy，又因为2200080 xxy，所以02x，又因为02x 不满足22:416Cxy，所以不存在M满足条件，故错误；C当A，B，P三点不共线时，因为12PAPB，2,4OAOB，所以12OAOB，所以PAOAPBOB，由角平分线定理
18、的逆定理可知：射线PO是APB的平分线，故正确；D因为三棱锥的高为3PA，所以当底面ABC的面积最大值时，此时三棱锥的体积最大，因为6BC，2ACAB，取BC靠近B的一个三等分点为坐标原点O，BC为x轴建立平面直角坐标系，所以不妨取2,0B，4,0C，由题设定义可知,A x y的轨迹方程为：22416xy，所以16 4122ABCS，此时A在圆22416xy的最高点处4,4，所以max13 12123P ABCV，故正确.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题，难度较难.(1)证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；(2)和圆有关的
19、线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13设nS是数列na的前n项和，且11a ，11nnnaS S，则nS _【答案】1n公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358012【解析】原式为1111nnnnnnnaS SSSS S，整理为：1111nnSS，即1111nnSS，即数列1nS是以-1 为首项，-1 为公差的等差的数列，所以1111nnnS ，即1nSn.【点睛】这类型题使用的公式是11nnnSaSS12nn，一般条件是nnSf a，若是消nS，就需当2n 时构造11nnSf a，两式相减1nnnSSa，再变形求
20、解；若是消na，就需在原式将na变形为：1nnnaSS，再利用递推求解通项公式.14已知(sin)21fxx(,)2 2x ，那么(cos10)f_【答案】21 7【解析】因为710,22 2 且7cos10sin 102，所以77(cos10)sin(10)2(10)121 722ff.故答案为：21 7.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.15如图，在ABC中，3,2,60ABACBAC，D,E 分别边 AB,AC 上的点,1AE 且12 AD AE，则|AD_，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则 BP CP的最小值为_.公众号：中学生上分精
21、品资料 QQ 群：90294358013【答案】1116【解析】11cos60122AD AEADAEAD ，1AD；又因为1AE 且60BAC，ADE为正三角形，1DEADAE，120BDPCEP，2,1BDEC，设DP的长为x（01x），则1PEx，BP CPBDDPCEEP BD CEBD EPDP CEDP EP 1112 12 1111222xxxx 22111,241616xxx 14x 时取等号，BP CP 的最小值为116.故答案为：1，116.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分
22、别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358014箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用16六棱锥PABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA 底面ABCDEF，给出下列四个命题：线段PC的长是点P到线段CD的距离；异面直线PB与EF所成角是PBC；线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；PEA是二面角PDEA平面角.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】连接AC如图所示
23、：因为底面ABCDEF是正六边形，所以ACCD，又因为PA 底面ABCDEF，所以PACD且PAACA，所以CD 平面PAC，所以PCCD，故正确；因为/EFBC，所以异面直线PB与EF所成角是PBC或其补角，设,ABa APb，所以222BPab，2222233PCabab，公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358015所以2222222223cos022abaabaPBCa abab，所以PBC为钝角，所以异面直线PB与EF所成角是PBC的补角，故错误；如图所示：因为/CD平面PAF，,ACAF ACPA PAAFA，所以AC 平面PAF，所以直线CD与平面PAF的距离等于A
24、C且ACAD，故错误；连接AE，如下图所示，则AEED，因为PA 底面ABCDEF，所以PADE，PAAEA，所以DE 平面PEA，所以DEPE，结合AEED可知PEA是二面角PDEA平面角，故正确.故答案为：.公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358016【点睛】本题考查空间几何体的位置关系以及相关计算，难度较难(1)求解异面直线所成角时，采用平移直线的方法将异面直线平移至同一平面内，此时异面直线所成角即为直线所成角或其补角；(2)作二面角的平面角可以通过定义法也可以通过三垂线法.四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题
25、满分 10 分）等差数列na中，34574,6aaaa.（）求na的通项公式；（）设nnba，求数列 nb的前 10 项和，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.【答案】（）235nna；（）24.【解析】（）设数列 na的公差为 d，由题意有112+54,+53adad.解得121,5ad.所以 na的通项公式为235nna.（2 分）（）由（）知235nnb.当 n=1,2,3 时，2312,15nnb；（4 分）当 n=4,5 时，2323,25nnb；当 n=6,7,8 时，2334,35nnb；当 n=9,10 时，2345,45nnb.所以数列 nb的前 10
26、项和为1 32 23 34 224 .（10 分）公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358017【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“x表示不超过x的最大整数”理解出错.18（本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sin Acos A1sin2A.(1)求 sin A 的值；(2)若 c2a22b，且 sin B3cos C，求 b.【答案】（1）34（2）b4【解析】(1)由已知，22sincos12sin1 sin2222AAAA .在ABC中，sin02A，因而1sincos222AA，
27、则221sin2sincoscos22224AAAA.3sin4A（6 分）(2)由已知sin3cosBC，结合(1)，得sin4cossinBCA.法一：利用正弦定理和余弦定理得2224()2abcbaab，整理得2222()bca.又222cab24bb在ABC中，0b.4b.（12 分）法二：2222coscababC222cosbbabC公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358018在ABC中，0b，22 cosbaC又sin4cossinBCA由正弦定理，得4 cosbaC由解得4b.19（本小题满分 12 分）为庆祝党的 98 岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走
28、”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取 40 名学生，将其成绩分为六段70,75，75,80，80,85，85,90，90,95，95,100，到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a的值及样本的中位数与众数；（2）若从竞赛成绩在70,75与95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,求事件M发生的概率.（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在95,100内的为一等奖,得分在90,95内的为二等奖,得分在85,90内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数
29、学期望.【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)715；(3)详见解析公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358019【解析】（1）由频率分布直方图可知(0.050.042 0.020.01)51a，解得0.06a，可知样本的中位数在第 4 组中，不妨设为x，则(0.010.020.04)5(85)0.050.5x，解得87.5x，（2 分）即样本的中位数为87.5，（3 分）由频率分布直方图可知，样本的众数为859087.52.（4 分）（2）由频率分布直方图可知，在70,75与95,100两个分数段的学生人数分别为2和4，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于 5
30、分为事件 M，则事件 M 发生的概率为222426715CCC，即事件 M 发生的概率为715.（6 分）（3）从考生中随机抽取三名,则随机变量为获得三等奖的人数,则0,1,2,3，由频率分布直方图知，从考升中任抽取 1 人，此生获得三等奖的概率为0.0650.3，所以随机变量服从二项分布(3,0.3)B，（8 分）则3123(0)(1 0.3)0.343,(1)0.3(1 0.3)0.441PPC，2233(2)0.3(1 0.3)0.189,(3)0.30.027PCP，（10 分）所以随机变量的分布列为0123P0.3430.4410.1890.027公众号：中学生上分精品资料 QQ 群
31、：90294358020所以 3 0.30.9E.（12 分）【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；(3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的
32、余弦值【答案】(1)见解析(2)?(3)?t?t【解析】方法一：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得 B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）C 由 E 为棱 PC 的中点，得 E（1，1，1）（2 分）（1）证明：向量?t?（0，1，1），?t?（2，0，0），故?t?t?0，公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358021所以 BEDC.（3 分）（2）向量?（1，2，0），?（1，0，2）设 n（x，y，z）为平面 PBD 的法向量，则?t?t即?t?t不妨令 y1，可得 n（2，1，1）为平面 PBD 的一个法向量于是有
33、cos?t?t?t?，所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为?.（7 分）（3）向量?t?（1，2，0），t?（2，2，2），?t?（2，2，0），?（1，0，0）由点 F 在棱 PC 上，设tt?t?，01.故?t?t?tt?t?t?（12，22，2）由 BFAC，得?t?t?0，因此 2（12）2（22）0，解得?，即?t?.设 n1（x，y，z）为平面 FAB 的法向量，即?t?t不妨令 z1，可得 n1（0，3，1）为平面 FAB 的一个法向量取平面 ABP的法向量 n2（0，1，0），则cosn1，n2?t?t?t.易知二面角 F-AB-P 是锐角，所以其余弦值为?t?t.
34、（12 分）方法二：（1）证明：如图所示，取 PD 中点 M，连接 EM，AM.由于 E，M 分别为 PC，PD 的中点，故 EMDC，且 EM?DC.又由已知，可得 EMAB 且 EMAB，故四边形 ABEM 为平行四边形，所以 BEAM.因为 PA底面 ABCD，故 PACD，而 CDDA，从而 CD平面 PAD.因为 AM平面 PAD，所以公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358022CDAM.又 BEAM，所以 BECD.（3 分）（2）连接 BM，由（1）有 CD平面 PAD，得 CDPD.而 EMCD，故 PDEM.又因为 ADAP，M 为 PD 的中点，所以 PDA
35、M，可得 PDBE，所以 PD平面 BEM，故平面 BEM平面 PBD，所以直线 BE 在平面 PBD 内的射影为直线 BM.而 BEEM，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面 PBD 所成的角依题意，有 PD2，而 M 为 PD 中点，可得 AM，进而 BE.故在直角三角形 BEM 中，tanEBMtt?t?t?，因此 sinEBM?，所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为?.（7 分）（3）如图所示，在PAC 中，过点 F 作 FHPA 交 AC 于点 H.因为 PA底面 ABCD，所以 FH底面 ABCD，从而 FHAC.又 BFAC，得 AC平面 FHB，因此 A
36、CBH.在底面 ABCD 内，可得CH3HA，从而 CF3FP.在平面 PDC 内，作 FGDC 交 PD 于点 G，于是 DG3GP.由于 DCAB，故 GFAB，所以 A，B，F，G 四点共面由 ABPA，ABAD，得 AB平面 PAD，故 ABAG，所以PAG 为二面角 F-AB-P 的平面角在PAG 中，PA2，PG?PD，APG45.由余弦定理可得 AG?t，cosPAG?t?t，所以二面角 F-AB-P 的余弦值为?t?t.（12 分）考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角21（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：?（?t）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个
37、端点构成正三角形.公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358023（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线?上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q.（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；（ii）当?t?最小时，求点 T 的坐标.【答案】(1)?；（2）?t?【解析】（1）?，又?.（3 分）（2）椭圆方程化为?.（）设 PQ 的方程为?意?，代入椭圆方程得：?意?意?t.设 PQ 的中点为 t?t?t?，则?t?意意?t?意?又 TF 的方程为?t?意?，?则?得?意，所以?t?tt?意?，即 OT 过
38、PQ 的中点，即 OT 平分线段 PQ.（7 分）（）?意?意?意?意?意?意?，又?t?意，所以?t?意?意?意?意?意?意?.当 意?时取等号，此时 T 的坐标为?.（12 分）【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.22（本小题满分 12 分）设函数 ln(f xaxxa 为常数).(1)当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程:公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358024(2)若函数 xeg xf xx在0,1内存在唯一极值点0 xx，求实数a的取值范围，并判断0 xx，是 f x在0,1内的极大
39、值点还是极小值点.【答案】(1)1y (2)(,)ae，0 xx为函数 g x的极小值点【解析】(1)当1a 时，f xxlnx ，1 10fxxx 所求切线的斜率 10f，又(1)1f.所以曲线 yf x在1x 处的切线方程为1y .（3 分）(2)221111xxxeaxexgxaxxx又0,1x，则要使得 f x在0,1内存在唯一极值点，则 210 xxeaxgxx在0,1存在唯一零点，即方程0 xeax在0,1内存在唯一解，xeax，xeax，即exyx与ya在0,1范围内有唯一交点.（5 分）设函数,0,1xeh xxx，则 210,xxehxh xx在0,1单调递减，又 1h xhe；当0 x 时，g x，公众号：中学生上分精品资料 QQ 群：90294358025,ae 时与ya在0,1范围内有唯一交点，设为0 x当00,xx时，,0 xxeh xa eaxx，则 210 xxeaxgxx，g x在00,x为减函数:当0,1xx时，0 xeax，则 210 xxeaxgxx，g x在0,1x为增函数.即0 xx为函数 g x的极小值点.综上所述:(,)ae，且0 xx为函数 g x的极小值点（12 分）【点睛】本题考查导数的切线方程，考查利用导数研究函数的极值、零点、单调性以及图像变化趋势，属于难题.
