1、蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 1 二、典型例题二、典型例题 一、主要内容一、主要内容 第二章 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 2 求求 导导 法法 那么那么 根本公式根本公式 导导 数数 xyx 0lim微微 分分 xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数 高阶微分高阶微分 一、主要内容一、主要内容 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 3 根本导数公式根本导数公式 22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx 常数和
2、根本初等函数的导数公式常数和根本初等函数的导数公式 222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 4 根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式 xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx
3、222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 5 例例1.1.).0(),100()2)(1()(fxxxxxf求设解解 0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100二、二、典型例题典型例题 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 6 例例2.设 求,1111ln411arctan21222xxxy.y y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x2
4、31)2(1xxx蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 7 例例3.,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解 分析分析:,0导数不存在导数不存在时时当当tt,0不存在不存在时时当当dtdydtdxt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt .0.00 tdxdy故故蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 8.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数例例4.解解 两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(xyy,ln
5、11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 9).(,)2()(xfxxxxf 求求设设例例5.解解 先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0 时时当当 x,0)0()0(ff;0)0(f,20时时当当 x;43)(2xxxf,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 10,2 时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4 2)2()(lim)2
6、(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 11.,)(sincosyxxyx 求求设设例例6.解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 12.,114)(22nyxxy求求设设例例7.解解 13441142222xxxxy)1111(234xx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx,)1(!)1()11(
7、1)(nnnxnx.)1(1)1(1!)1(2311)(nnnnxxny蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 13.03 .833dxdyyxyyx的导数所确定的隐函数求由例解 等式两端求微分，由微分的形式不变性,得到,0)3(33xyyxd,0)3()()(33xydydxd,0)(333 22xdyydxdyydxx 得到两端同时除以，dx,03333 22dxdyxydxdyyx.22yxyxdxdy蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 14.,.9yaaxybxbxba求设例解 y 1 babxa)(bax)(xba)(bxa)ln(aaxb)ln(bbx)ln(aabx).(1b
8、xb.,)(sin .10cosyxyx求设例解)(sinlncosxxeyy).sincossinlnsin()(sin2cosxxxxxxxx sinlnsin()cossin1cosxxx蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 15 .为非零常数其中求 可导,在点设,)()(lim )(.110 hhafhafaxfh例解 )()(lim 0 hhafhafh)()()()(lim 0 hafhafafhafh)()()(lim)()(lim 0 0 hafhafhafhafhh).()(af蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 16.0)0()0()(.12ffxf存在证明为偶函数，
9、且 设例证明),()()(xfxfxf为偶函数，所以因为xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()0(lim0).0(f,0)0(2f.0)0(f即蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 17 处可导.在使选设1)(,1,1,)(.132xxfbaxbaxxxxf例解,1lim)01(21xfx)(lim)01(1baxfx,ba,1)1(f 处连续，数在若这三个值相等，则函1x又 1)1()(lim)1(1xfxffx11lim21xxx .1ba;21)1()(lim)1(1xfxffx11)(lim1xbaxx.a.2)1()1(1 )(affxxf即 处可导，必须在要使
10、，处可导.在时,于是当1 )(12 xxfba，蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 18.),(cos)(sin)(.1422dxdyxfxfyxf求可导,设例解 )(cos)(sin22xfxfdxdy)(cos)(sin22xfxf)(sin(sin22xxfxxf2sin)(sin2).(cos)(sin2sin22xfxfx)(cos(cos22xxf)2sin)(cos2xxf蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 19 为偶函数.可导的奇函数的导函数 ；函数的偶函数的导函数为奇证明：可导例 .15证明 hxfhxfxfh)()(lim)(0hxfhxfh)()(lim0hxfh
11、xfh)()(lim0).(xf .数为奇函数即可导的偶函数的导函由导数定义可导且设，)()()(xf,xf-xf .的导函数为偶函数同理可证可导的奇函数蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 20？导数连续；可导；连续处在满足什么条件，问设例)3()2()1(0 )(,0 ,00,1sin)(.16xxfkxxxxxfk解 为有界函数.xf1sin,0)0()1(时，当0k)(lim0 xfxxxkx1sinlim00),0(f处连续；在即 0 )(xxf)2(，时当1k0)0()(lim0 xfxfxxxkx1sinlim10.0.0)0(0 )(fxxf处可导，且在即蚌埠学院 高等数学
12、2023/3/19 21(3)时及当 0 2 kkxxxkxxfkk1cos1sin)(21)1cos1sin(lim)(lim 210 0 xxxkxxfkkxx0),0(f 处连续.在 于是 0 )(xxf蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 22)(1)()1()()1()()()()1(1lim afnafnafafnafafnafafnaf)(1)(afafe.)()(afafe.)()1(lim,0)()(.17nnafnafafaxf求可导,在点设且例nnafnaf)()1(lim 解蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 23).(,)(),()()(.18afaxxxaxx
13、f求连续在点其中设例axafxfafax)()(lim)(解axxaxax0)()(lim)(limxax).(a 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 24).1(),1004(tan)24)(tan14(tan)(.191002fxxxxf求设例解1)4(tan xx12)4(sec4xx.21)1()(lim)1(1xfxffx)1004(tan)24(tan114tanlim10021xxxxx)1001()31)(21(2!99)1(299!992蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 25 作业中的问题：作业中的问题：1、第、第15页页 二、二、2、,)ln(2222yaxaxx
14、xy求)1(1)ln(222222axxaxxxaxxy22axx222222)ln(axxaxxaxx)ln(22axx)1(12222axxaxxy221ax 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 26 2、第、第16页页 二、二、1、22,1dxydxeyy求 两边分别对两边分别对 x 求导，求导，,yxeeyyyyyxeey12)1()()1(yyyyyyxeyxeeexeyey22)1(yyyxeyee32)1()2(yyyxexeeyey22)2()()2(yyeyyeyyy322)2()3()2()3(yyeyyyeyy蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 27 3、第、第1
15、6页页 三、三、1、54)1()3(2xxxy两边取对数：两边取对数：54)1ln()3ln(2lnlnxxxy)5ln(5)3ln(4)2ln(21xxx两边对两边对 x 求导：求导：515314)2(211xxxyy1534)2(21)1()3(254xxxxxxy4、第、第16页页 一、一、2、22lnarctanyxxy)ln(2122yx 两边对两边对 x 求导：求导：22222221)(11yxyyxxyxyxy,yyxyxyyxyxy)()(212222yxyxx蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 28 5、第、第17页页 五、五、1、)1ln(arctan2tytx)(ar
16、ctan)1ln(2ttdtdxdtdydxdytttt2111222)2(22tdxddxyddtdxtdtd1)2()1(2112)(arctan)2(22ttttttdtddxdy2)(arctan)1ln(2)1(2)(arctan)2(222ttdtddxyd蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 29 练习：求以下函数的导数或微分练习：求以下函数的导数或微分 xxyxxxyxxyxxxyxyx11arctan.51ln.4arctan)1(.3cottan.23ln3.12233ln332xxyxxxxxy22csccot2sectan1arctan2xxy2)1(ln1xxxy22211)1(11)11(11xxxxxxy蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 30,.8,2.7),ln(22.61sin222222yyxdyyyaxxaaxxyxyx求求求2222,axxyaxydxxxxddyxx1sin221sin2222sin2ln)1(sin2ln2)ln()ln(,ln1ln,lnlnxxyxyyxyyyyxyyxxyyxxy蚌埠学院 高等数学 2023/3/
