1、蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 1 微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学 导数导数 描述函数变化快慢 微分微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)英国数学家 Newton 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 2 一、问题的提出一、问题的提出 六、小结与思考判断题六、小结与思考判断题 二、导数的定义二、导数的定义 三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例 四、导数的意义四、导数的意义 五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 第二章 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 3 一、问题的提出一、问题的提出 1、直线运动的速度问题,)(0时刻
2、的瞬时速度时刻的瞬时速度求求数为数为设动点于时刻的位置函设动点于时刻的位置函ttfs 0t如图,0tt的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运动时间运动时间st平平 均均 速速 度度v0000()()s sf tf tt tt t,0时时当当 tt取极限得取极限得 tt00)()(lim0tttftfVtt 瞬时速度瞬时速度 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 4 2、切线问题、切线问题 切线：割线的极限 播放播放 M N T 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 5 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),
3、(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC 沿曲线沿曲线M T切 线斜 率 为.)()(limtan000 xxxfxfkxx蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 6 两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf 0tt 切线斜率 xyo)(xfyCNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf 0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长
4、度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 7 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义1.设函数)(xfy在点 0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即 0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么称函数 假设 的某邻域内有定义,在点 0 x处可导可导,在点 0 x的导数导数.000()()limxxf xf xx x蚌
5、埠学院 高等数学 2023/3/19 8 运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度 0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC 在 M 点处的切线斜率 xyo)(xfyCNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf假设上述极限不存在,在点 不可导.0 x假设,lim0 xyx也称)(xf在 0 x就说函数 的导数为无穷大.蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 9 右导数 3、单侧导数 左导数;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(
6、lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 判断函数在某一点可导的充分必要条件：)()()(000 xfxfxxf点可导点可导在在函数函数0,.x点导数是因变量在点处的变化率它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度注意：注意：蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 10 例例()处 导在在0 的0 的可可性性.f xxx讨讨论论函函数数解 xy xyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数xxfy蚌埠学院 高等数学 2023/
7、3/19 11 假设函数在开区间 I 内每点都可导,记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就称函数在 I 内可导.4、导函数 ()()xIfxfx,对 都对应着的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数 的导函数.xxfxxfyx)()(lim0即即如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 12 三、三、由定义求导数举例由定义求导数举例 步骤步骤:);()()1(xfxxfy求增量求增量
8、;)()()2(xxfxxfxy算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解 hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 常数的导数是零。常数的导数是零。即即 .0)(C蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 13 例例2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn解 hxhxxnnhn)(lim)(0!2)1(lim1210nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地(为常数)(为常数).x x)(x(x1 1 ()x12（）x例如,12121 x.21x)(11 xx
9、11)1(x.12x 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 14 hxhxhsin)sin(lim0例例3.求函数 xxfsin)(的导数.解:,hx令令那么)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即 xx cos)(sin 类似可证得 xxsin)(cos h蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 15 例例4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数aaaxfx解 haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .ln aax xxee )(特别地，特别地，.ln aax)(xa蚌埠学院 高等数学
10、2023/3/19 16 例例5.ln的导数求函数 xy解 hxhxyhln)ln(lim0axxaln1)(log一般地xxhxhh1)1ln(lim0hxhxhx)1ln(lim10.1x蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 17 四、四、导数的意义导数的意义 oxy)(xfy T0 xM1、几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为 法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy).()(1000 xxxfyy 假假设设,)(0 xf切线与切线与 x 轴垂直轴垂直.
11、蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 18 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O x y x0 y O x x0 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 19 2(2,4),.yx求曲线 在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程例例6.解 由导数几何意义,切线斜率为 2 xyk切线方程：法线方程：),2(44xy),4(414xy.044 yx即.0204yx即xxy2)(242xyk0 0(,)()M xyy fx问题：点不是曲线上的点，切线如何求？蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 20 2、简单的物理意义 1变速直线运动中路程对时间
12、的导数为物体的瞬时变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度速度.lim)(0dtdststvt 2交流电路中电量对时间的导数为电流强度交流电路中电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 3非均匀物体中质量对长度非均匀物体中质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为物的导数为物体的线体的线(面面,体体)密度密度.lim)(0dPdmPmPP 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 21 五、五、可导与连续的关系可导与连续的关系 结论：可导的函数一定是连续的。证,)(0可导可导在点在点设函数设函数 xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy)(0)(liml
13、im000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 22 处连续但不可导在函数0)(xxxf解 xy xyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即.0)(点不可导在xxfy注意:反之不成立.即连续不一定可导。如 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 23 内容小结内容小结 1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性 不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导
14、数是否存在且相等.)(C)(x)(sin x)(cos xaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;1x;cos x;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 24 1、初等函数在其定义区间内必可导？2、初等函数的导数仍是初等函数？一定存在。一定存在。处有切线，则处有切线，则在（在（曲线曲线、)()(,)(3000 xfxfxxfy 思考与练习思考与练习 作业作业 P85 2,5,6,9,13,14(2),16,18 蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 25 4.设)(0 xf存在,那么._)()(lim000hxfhxfh5.,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf0k6.假设假设),(x时,恒有,)(2xxf问)(xf是否在 0 x可导 解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准那么 0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在 0 x可导,且 0)0(f蚌埠学院 高等数学 2023/3/19 26 7.设 0,0,sin)(xxaxxxf,问 a 取何值时,)(xf在),(都存在,并求出.)(xf解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故 1a时,1)0(f此时)(xf在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x=0 连续.
