1、 3.6 导数与微分在经济学中的简单应用 一、边际分析 几何）几何）切线斜率切线斜率经济）经济）瞬时速度瞬时速度 :的背景的背景xf 物理）物理）边际函数边际函数 第三章 则边际成本则边际成本)()(是产量是产量xxCC 设厂商的成本函数为设厂商的成本函数为xCxCMCdd)(（边际成本）（边际成本）即即当产量增加一单位当产量增加一单位,即即说明：说明：,1:00时时xxx?)10(C 0 xxdC C易知易知 xxC0 10 xC近似增加了近似增加了则成本则成本基础上增加一个单位基础上增加一个单位在在产量产量Cxx,0 .0个单位个单位xC .0 xCC :)(0经济含义经济含义xC 0 x
2、C 则厂商的收益为则厂商的收益为),()(为价格为价格需求量需求量是产量是产量pxxpp 设厂商的需求函数为设厂商的需求函数为)()(xxpxRR边际收益为边际收益为xRxRMRdd)(（边际收益）（边际收益）经济含义：经济含义：表示了表示了边际收入边际收入0 xR 多销售一单位产品多销售一单位产品基础上基础上在产量在产量,0 x.所近似增加的收入所近似增加的收入.边际利润边际利润 xL总利润函数总利润函数 ,xCxR 时的时的为在产量为在产量称称xxL )()()(xCxRxL 且且（边际利润）（边际利润）经济含义：经济含义：,0基础上基础上在生产量在生产量x 表示了表示了边际利润边际利润0
3、 xL .)(0个单位个单位则产品利润近似增加则产品利润近似增加xL 多卖出一单位产品，多卖出一单位产品，?)7(R .400300,150),(,205000)(),(801.0.解释其经济含义解释其经济含义并并时的边际利润时的边际利润和和并分别求并分别求函数函数求边际利润求边际利润元元成本函数为成本函数为是需求量是需求量是价格是价格设某产品的需求方程为设某产品的需求方程为例例 xxLxxCxpxp,1.080)1.080()(2xxxxpxxR收益函数收益函数)205000(1.080)()()(2xxxxCxRxL利润利润.602.0)(xxL.20)400(,0)300(,30)150
4、(LLL.20,400.,300;30,150元元减少减少会近似会近似再多销售一个产品利润再多销售一个产品利润个产品时个产品时销售销售加利润加利润再多销售一个产品不增再多销售一个产品不增个产品时个产品时销售销售元元近似增加近似增加会会再多销售一个产品利润再多销售一个产品利润个产品时个产品时销售销售.5000601.02xx解解 二、弹性分析二、弹性分析.绝对变化率绝对变化率相对变化率？相对变化率？边际：边际：xyxfx 00lim而下降的程度大小：而下降的程度大小：种商品的需求量因涨价种商品的需求量因涨价比较下面比较下面引例）引例）3.1.,.,.,.,.,.,万单位万单位需求量下降需求量下降
5、角角若若万单位万单位市场需求量市场需求量元元单价单价丙）丙）万单位万单位需求量下降需求量下降角角若若万单位万单位市场需求量市场需求量元元单价单价乙）乙）万单位万单位需求量下降需求量下降角角若若万单位万单位市场需求量市场需求量元元单价单价甲）甲）1161201150101110010,）角角万万同（同（引起的绝对变化率均相引起的绝对变化率均相三者的需求量因涨价而三者的需求量因涨价而注：注：11但但同同从而受到涨价的影响不从而受到涨价的影响不需求量的基数不同需求量的基数不同由于各自的价格由于各自的价格,.Key甲甲丙丙乙乙受影响程度）受影响程度）：弹性概念弹性概念 之间的弧弹性。之间的弧弹性。与与
6、在在称为函数称为函数则则且且对经济函数对经济函数）xxxxfyxxyyyxfxxfyDef 0000000,0)(,0,3.3 ,0处的点弹性处的点弹性在在称此极限为函数称此极限为函数xxfy.0 xxExEy 记为记为 存在，则存在，则而极限而极限000000000)lim(limyxxfyxxyxxyyxx xfyxfxxf 为函数为函数则称则称,0)(),()(xfbaxfy内可导，且内可导，且在区间在区间如果经济函数如果经济函数内的弹性函数。内的弹性函数。在在),(ba弹性概念弹性概念)()(xfxxfExEy 即即ExEy记为记为经济解释：经济解释：即即记为记为K%.0Kyy基础上近
7、似变动了基础上近似变动了在原在原相应的相应的,%100时时基础上变动基础上变动在在表示了当表示了当即点弹性即点弹性xxExEyKx,%)1(10010时时变动变动则当则当 xxx%)%(0KyKyy变动变动有有 （弧弹性）（弧弹性）00 xxyy 0,xExEyx（点弹性）（点弹性）则则较小时较小时当当,00 xxKyy .1003的弹性函数的弹性函数例：求函数例：求函数xeyxExEyKey3：例例 pQQpEpdd 价格弹性价格弹性则人们对该商品的需求则人们对该商品的需求其价格为其价格为量为量为设人们对某商品的需求设人们对某商品的需求需求价格弹性需求价格弹性,)(pQ,ddpEppQQ由由
8、,的单减函数的单减函数是价格是价格一般需求量一般需求量pQ%;,PE需求量减少需求量减少当价格上升百分之一时当价格上升百分之一时.一般为负数一般为负数故故pE%.,pE需求量上升需求量上升当价格下降百分之一时当价格下降百分之一时正正,负？负？经济含义：经济含义：pEppQQ 思考三种弹性类型的商品的实例思考三种弹性类型的商品的实例.,品品而如猪肉等为高弹性商而如猪肉等为高弹性商性性电、食盐等商品缺乏弹电、食盐等商品缺乏弹例例价格变动对商品需求量影响较大价格变动对商品需求量影响较大 价格变动对商品需求量影响不大价格变动对商品需求量影响不大 可有其他代替品的商品可有其他代替品的商品 必须的但无其他
9、代替品的商品必须的但无其他代替品的商品 影响销售收入的结论。影响销售收入的结论。可以得出价格变动如何可以得出价格变动如何需求价格弹性的概念需求价格弹性的概念对总收入的影响。利用对总收入的影响。利用或降价或降价者关心的是提价者关心的是提价商品经济中，商品经营商品经济中，商品经营,)0()0(pp需求价格弹性的类型需求价格弹性的类型 ,:1高弹性高弹性pE,低弹性低弹性:1 pE:1 pE.单位弹性单位弹性例例.)(,系系需求价格弹性之间的关需求价格弹性之间的关与与收入收入试求边际收益试求边际收益其价格为其价格为产品的需求量产品的需求量其产量就是人们对该其产量就是人们对该设某厂商生产某种产品设某厂
10、商生产某种产品pQ解解 pQQppQdRdd)(dQpEpQpd1d 则则则两边取微分则两边取微分QppRR )(厂商的收益函数为厂商的收益函数为由于由于因此因此QRMRdd pEp 11.11pEp pQQpEpdd)d)11(QpEp .11QpEdRRp ,1时时当当 pE,0,0 Qp若若;提价会降低收益提价会降低收益,0,0 若若 Qp.降价会增加收益降价会增加收益，0 R0 R,1时时当当 pE,0,0 Qp若若;提价会增加收益提价会增加收益，0 R,1时时当当 pE，0 R.影响影响价格变动对总收入无甚价格变动对总收入无甚,涨价增加总收入涨价增加总收入,降价增加总收入降价增加总收
11、入,单位弹性单位弹性.影响影响价格变动对总收入无甚价格变动对总收入无甚薄利多销政策薄利多销政策,低弹性低弹性 高弹性高弹性例例%;,RE需求量增加需求量增加当收入增加百分之一时当收入增加百分之一时QRRQERdd 收入弹性为收入弹性为则人们对该商品的需求则人们对该商品的需求的需求量为的需求量为对某商品对某商品设人们的收入为设人们的收入为需求收入弹性需求收入弹性,)(QRRRERRQQERRQQ,dd由由,是收入的单增函数是收入的单增函数一般需求量一般需求量Q,一般为正数一般为正数因此因此RE%.,RE需求量减少需求量减少当收入减少百分之一时当收入减少百分之一时第三局部第三局部 求导数与求微分第
12、三章求导数与求微分第三章 2.求导数求导数 xxfxxfxfx)()(lim)(0 000-)(-)(lim)(0 xxxfxfxfxx1.1.导数导数定义定义:4.4.求微分求微分 3.3.求高阶导数求高阶导数 5.5.导数的几何应用导数的几何应用:求过一点的切线、法线方程。求过一点的切线、法线方程。的概念及经济含义。的概念及经济含义。需求价格弹性需求价格弹性边际函数、弹性边际函数、弹性：导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用)(.6)21221121(lim.1222nnnnn 一、计算下列极限：一、计算下列极限：111lim.3 xxxxxxx51lncos1lim.40 二、求下列导
13、数二、求下列导数.)(,)(.42dxdyxfxxfy可导，求可导，求其中其中dxdyxyx求求已知已知,)11(.2.)(arcsin.32的导数的导数确定的隐函数确定的隐函数求由方程求由方程xyyyxy.),1ln(.12yxxy 求求已知已知)2112(lim.221xxxxxx.01sin010sin1)(在定义域内连续在定义域内连续使得函数使得函数和和求常数求常数三、设三、设 baxbxxxaxxxxf.)2,1(133内至少有一实根内至少有一实根在在四、证明方程四、证明方程xx1.求以下极限求以下极限 1sinlim)2(3 xxxx)1212(lim)1(223xxxxxxxxx2sincos1lim)3(30 xxxxcot011lim)4(.,0)1(lim221babxxaxx求常数求常数、若、若)12111(lim).5(222nnnnn
