1、前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式基本不等式以及绝对值不等式xa和和xa的解的解集的规律等，都可以作为证明不等式的依据集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面，下面，我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法.思考一：思考一：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 尝试尝试 1 1：作差比较作
2、差比较，作差作差变形变形定符号定符号 尝试尝试2 尝试尝试3 根据根据 ab0ab，欲证，欲证 ab 只需证只需证 ab0.证明：证明：3322()()aba bab =22()()aabbab=22()()abab=2()()ab ab,a b是正数，且是正数，且ab,0a b,2()ab 0 0 3322()()aba bab0,3322aba bab 例题例题 1 1：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 练习：P23 习题1，2，3 类似：P22例题2（加糖原理）注：注：比较法比较法是证明不等式的基本方法，也是是证明不等式的基本方法，也是最重要
3、的方法最重要的方法,另外，另外，有时有时还还可可作商比较作商比较(如课本如课本第第 2222 页例页例 3).3).练习：书 P 23 4，P 26 6,7 尝试尝试 2 2：转化尝试，转化尝试，就是就是不断寻找并简化不断寻找并简化欲证不等式成欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止为止.其逻辑关系是：其逻辑关系是：12nBBBBA.思考一：思考一：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 证明：证明：0,0,abab且且 要证要证3322aba b ab,只要证只要证22()()()a
4、b aab bab a b,只要证只要证22aabbab,只要证只要证2220aabb.0ab,2()0ab即即2220aabb得证得证.注：注：分析法分析法的思维特点是：的思维特点是：执果索因执果索因.对于思路不对于思路不明显明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外另外,不等式的基本性质告诉我们不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这可以对不等式做这样或那样的变形样或那样的变形,分析时贵在变形分析时贵在变形,不通思变不通思变,变则通变则通!（如（如课本第课本第 2424 页例页例 3 3）练习：P26 3，5,9 尝试尝试 3 3:联想尝试
5、联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件就是由已知的不等式及题设条件出发出发产生产生联想联想,大胆尝试大胆尝试,巧巧用用已知不等式及已知不等式及不等不等式性质式性质做做适当变形适当变形，推导出要求证明的不等式推导出要求证明的不等式.其其逻辑关系是：逻辑关系是：12nABBBB.思考一：思考一：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 证明：证明：0,0,abab且且 3222aaba b,3222bbaab,32322222aabbbaa bab,3322aba bab 注：注：综合综合法法的思维特点是：的思维特点是：执执因因索索果果.基本不等式以基本不等式
6、以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系样或那样的联系,作由此及彼的联想作由此及彼的联想往往能启发我们往往能启发我们证明的方向证明的方向.尝试时贵在联想，尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌浮想联翩，思潮如涌。（如如课课本本第第 2323 页页例例 1 1、第第 2424 页页例例 2 2）练习：P 25 2,P26 4 例题例题 2 2.(课本第课本第 2525 页例页例 4)4)已知已知,0,a b c 求证求证:222222a bb cc aabcabc.证明不等式的常用的方法有证明不等式的常用的方法有:比较法、综合法、分
7、析法比较法、综合法、分析法，它们各有其它们各有其优点优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法的方法.当问题比较复杂时当问题比较复杂时,通常用分析法寻通常用分析法寻找证明的思路找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个而用综合法来叙述、表达整个证明过程证明过程.比较法比较法 分析分析法法 综合综合法法 作差作差或作商或作商尝试！尝试！转化尝试！转化尝试！执果索因执果索因 联想尝试！联想尝试！由因导果由因导果 12nB B B B A1 2nA A A A B小小 结结 例题例题 3
8、3:证不等式证不等式直接法较难解直接法较难解时时可考虑可考虑用用反证法反证法.1.1.已知已知2()f xxpxq，求证：求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有一个不小于中至少有一个不小于21.1答案答案 2答案答案 2.a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证：a,b,c 0 P27 例题例题2 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题从而证明原命题成立成立,这样的证明方法叫反证法这样的证明方法叫反证法.(.(正难那么反正难那么反)已知已知2()f x
9、xpxq，求证：，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有中至少有一个不小于一个不小于21.分析：分析：设设|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中没有一个大于或等于中没有一个大于或等于21，观察：观察：(1)1,(2)42,(3)93fpq fpq fpq 得：得：(1)2(2)(3)2fff 所以所以 2=2=|(1)2(2)(3)|fff|(1)|2|(2)|(3)|fff 21+2+221+21=2=2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。这是不可能的，矛盾表明原结论成立。证明证明：略：略.说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一说明：“至少”型命题常用反证
10、法，由于其反面情况也只有一种可能，所以属于归谬反证法种可能，所以属于归谬反证法.书P27 例题1 证：设证：设a 0,bc 0,那么那么b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，矛盾，必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0,c 0 P27例题例题2：a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证：a,b,c 0 练习：P29 1,4 思考：思考：.(.(课本第课本第 2222 页例页例 2)2)（为什么糖水加糖会变甜？为什么糖水加糖会变甜？）已知已知,a b m都是正数都是正数,并且并且ab,求证求证:amabmb .法一法一:直接作差比较直接作差比较(见
11、课本见课本)法二法二:作商比较作商比较(,a b m都是正数都是正数)法三法三:分析法分析法(先转化再证先转化再证)法四法四:综合法综合法(直接由条件出发直接由条件出发)法五法五:(:(放缩法放缩法),a b m都是正数都是正数,ab,bmam ()()()()amb amabbmabamabmb bmb bmb bmbamabmb .方法五是通过把不等式中的某些局部的值放方法五是通过把不等式中的某些局部的值放大或缩小大或缩小,简化不等式简化不等式,从而到达证明的目的从而到达证明的目的,讲讲这种证明方法称为放缩法这种证明方法称为放缩法.例题例题：(课本第课本第 2828 页例页例 3)3)已知
12、已知,a b c dR 求证求证:12abcdabdbcacdbdac 练习练习:试证下面的不等式试证下面的不等式:1.1.已知已知0,0,ab求证求证:12 2.abab 2.课本 9 习题 2，3 课后练习课后练习:已知函数已知函数(),0,),1xf xxx (1)(1)求证求证:()f x在在0,)为增函数为增函数;ABC 的三边长是的三边长是 a，b，c，且，且 m 为正数，为正数，求证求证:abcamc mb m .证明证明:设设12,0,x x 且且12xx,则则120 xx,110 x,210 x 1212121212()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx,12()()0f xf x,)(xf在在),0为增函数为增函数.在在ABC中有中有 a+b c0,f(a+b)f(c)，即，即abcabmcm .又又 a，b R*，abababamamabmabmabm ，abcambmcm.答案：答案：已知函数已知函数(),0,),1xf xxx(1)(1)求证求证:()f x在在0,)为增为增函数函数;ABC 的三边长是的三边长是 a，b，c，且，且 m 为正数，求证为正数，求证:abca mc mb m
