1、2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时150分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知集合，则下列结论正确的是
2、（ ）ABCD2如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A0B2C0或3D2或33若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：；.其中是“理想函数”的序号是（ ）ABCD4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x0时，f (x)0的解集为（ ）A. B.C. D.5.石碾子是我国传统粮食加工工具如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动
3、了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（ ）A.32 B.54 C.53 D.436.已知等差数列an的首项a10，而a90，则（ ）A.0 B.2 C.1 D.7.已知，则的大小关系为（ ）A. B.C. D.8.四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。9.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A.为函
4、数的一个周期B.是曲线的一个对称中心C.若函数在区间上单调递增，则实数的最大值为D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（ ）A.线段长度的最小值为4B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴D.可能为直角三角形11已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）A的最大值为B的最小值为C的最小值为D最大时，12.已知，则有（ ）A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，直三棱柱，侧棱长为，
5、点是侧面内一点当最大时，过、三点的截面面积的最小值为_14若函数ysin x在区间上单调递减，则的取值范围是_.15.已知直线l：ykxb是函数f (1)ax2与函数gex的公切线，若 （1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b_16.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a4，c3b，则ABC面积的最大值是_；若r，R分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，数列的前项和为，求证：.18.（12分
6、）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值.20（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(
7、2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行转弯停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？21（12分）已知点F（0，1）和直线：y=-1，直线过直线上的动点M且与直
8、线垂直，线段MF的垂直平分线l与直线相交于点P（1）求点P 轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程22（12分）已知函数，（1）证明：f（x）存在唯一零点；（2）设，若存在，使得，证明：2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试卷参考答案选择题：CACCBAAA ABD AC AC BCD填空题：133 144,0) 15. 16.3；（，2）解答题：17.（1）由，得，当时，-整理得，当时，即，数列是以9为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可知，即，.18（1）因为向量与向量共线，故，即， 又，（2） 由已知，所以 由余弦定理
9、得，即，联立 解得或， 所以 19.（1）取中点为，连接，因为点分别为的中点，故，又点为的中点，且四边形为矩形，故，故，故四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）因为为正方形，故可得，又因为平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为. 20.（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单
10、板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，则，所以，.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，所以的分布列如下表：0123所以（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀”为事件，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试 21（1）连接PF，因为MF的
11、垂直平分线l交于点P，所以，即点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线：y=-1的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线；（2）如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D由题知的面积等于设l的方程为y=kx+1，方程可化为，则，令，解得x=2k，将x=2k代入，得，故，所以D到l的距离，由消去y，得，从而，所以，故的面积，从而，解得=或所以l的方程为或22（1）证明：，因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在（-1，0）上恒小于0，在上恒大于0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0（2）证明：因为，所以，若是方程的根，则是方程的根因为，都单调递增，所以，所以，设，所以的解为，的解为（-1，1），所以h（x）在（-1，1）上递减，在上递增，所以h（x）的最小值为h（1）=1-2ln2，即的最小值为1-2ln2学科网（北京）股份有限公司
