1、2021年浙江省绍兴市中考数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1实数2，0，3，中，最小的数是（）A2B0C3D2第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为（）A0.527107B5.27106C52.7105D5.271073如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）ABCD4在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）ABCD5如图，正方形ABCD内接于O，点
2、P在上（）A30B45C60D906关于二次函数y2（x4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值67如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO5m，树AB与路灯O的水平距离AP4.5m，则树的高度AB长是（）A2mB3mCmDm8如图，菱形ABCD中，B60，沿折线BCCD方向移动，移动到点D停止在ABP形状的变化过程中（）A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形9如图，RtABC中，BAC90，点D
3、是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，连结CE，则的值为（）ABCD210数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形下面说法正确的是（）A用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）分解因式：x2+2x+1 12（5分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两；若每人9两，则差8两银子共有 两13（5
4、分）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）14（5分）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，连结AP，则BAP的度数是 15（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）（常数k0，x0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是 16（5分）已知ABC与ABD在同一平面内，点C，D不重合，AB4，ACAD2 三、解答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共
5、80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（8分）（1）计算：4sin60+（2）0（2）解不等式：5x+32（x+3）18（8分）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将抽查结果绘制成不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人19（8分）号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，号无人机从海拔30m处同时出
6、发（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）（m）与时间x（min）的关系如图两架无人机都上升了15min（1）求b的值及号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高28米20（8分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，C是转动点，且AB（1）转动连杆BC，手臂CD，使ABC143，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin530.8，cos530.6）（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转
7、动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由21（10分）如图，在ABC中，A40，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE（1）若ABC80，求BDC，ABE的度数；（2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由22（12分）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，且点A，B关于y轴对称，杯高DO8，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯口直径ABAB，杯脚高CO不变，求AB的长23（12分）问题：如图，在ABC
8、D中，AB8，DAB，ABC的平分线AE，F，求EF的长答案：EF2探究：（1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AB的长；当点E与点C重合时，求EF的长（2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值24（14分）如图，矩形ABCD中，AB4，点F是对角线BD上一动点，ADB30连结EF（1）若EFBD，求DF的长；（2）若PEBD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围2021年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，
9、共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1实数2，0，3，中，最小的数是（）A2B0C3D【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可判断出最小的数【解答】解：302，最小的数是3，故选：C2第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为（）A0.527107B5.27106C52.7105D5.27107【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【解答】解：52700005.27106故选：B3如图的几何体由五个
10、相同的小正方体搭成，它的主视图是（）ABCD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，故选：D4在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）ABCD【分析】用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率【解答】解：袋子中共有6个小球，其中白球有1个，摸出一个球是白球的概率是，故选：A5如图，正方形ABCD内接于O，点P在上（）A30B45C60D90【分析】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90，则BOC90，然后根据圆周角定理求解【解答】解：连接OB、OC，正方形AB
11、CD内接于O，BC弧所对的圆心角为90，BOC90，BPCBOC45故选：B6关于二次函数y2（x4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的【解答】解：二次函数y2（x4）2+6，a22，该函数图象开口向上，有最小值，故选：D7如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO5m，树AB与路灯O的水平距离AP4.5m，则树的高度AB长是（）A2mB3mCmDm【分析】利用相似三角形的性质求解即可【解答】解：ABOP，CAB
12、CPO，OP4（m），故选：A8如图，菱形ABCD中，B60，沿折线BCCD方向移动，移动到点D停止在ABP形状的变化过程中（）A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【分析】把点P从点B出发，沿折线BCCD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。【解答】解：B60，故菱形由两个等边三角形组合而成，当APBC时，此时ABP为等腰三角形；当点P到达点C处时，此时ABP为等边三角形；当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则ABP为等腰三角形；当点P与点D重合时，此
13、时ABP为等腰三角形，故选：C9如图，RtABC中，BAC90，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，连结CE，则的值为（）ABCD2【分析】设DE交AC于T,过点E作EHCD于H.首先证明EAEDEC,再证明BECD,可得结论。【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EHCD于HBAC90,BDDC,ADDBDC,BDAB,BADE,DABADE,ABDE,DTCBAC90,DTAB,BDDC,ATTC,EAECED,EDCECD,EHCD,CHDH,DEAB,EDCB,ECDB,cosECHcosB,2,故选：D10数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相
14、同的菱形放置，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形下面说法正确的是（）A用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用8个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：B二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）分解因式：x2+2x+1（x+1）2【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两
15、项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解【解答】解：x2+2x+8（x+1）2故答案为：（x+3）212（5分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两；若每人9两，则差8两银子共有46两【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决【解答】解：设有x人，银子y两，由题意得：，解得，故答案为4613（5分）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）【分析】根据题意即可求得FOD2DOE，即可求得DOE30，由矩形
16、的性质结合平行线的性质可求得DBC30，利用含30 角的直角三角形的性质可求解【解答】解：过O点作OECD，OFAD，F，由题意知FOD2DOE，FOD+DOE90，DOE30，FOD60，在矩形ABCD中，C90，OEBC，DBCDOE30，BCCD，故答案为14（5分）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，连结AP，则BAP的度数是15或75【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出BAP的度数即可【解答】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，ABAC，ABC70，ACBABC70，BAC180ACBABC1
17、80707040，CACP1，CAP1CP6A55，BAP1CAP1CAB554015；当点P在点C的右侧时，ABAC，ABC70，ACBABC70，BAC180ACBABC180707040，CACP4，CAP2CP1A35，BAP2CAP2CAB35+4075；由上可得，BAP的度数是15或75，故答案为：15或7515（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）（常数k0，x0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是5或22.5【分析】作DMx轴于M，BN轴于N，过C点作x轴的平行线，交DM于E，交BN于F，通过证
18、得三角形求得表示出B、C的坐标，然后根据反比例函数系数kxy即可求得结果【解答】解：作DMx轴于M，BN轴于N，交DM于E，正方形ABCD中，BAD90，DAM+BAN90，ADM+DAM90，ADMBAN，在ADM和BAN中，ADMBAN（AAS），AMBN，DMAN，顶点D的坐标（，6）OM，DM6，同理：ADMDCE，AMDE，CEDM，AMBNDE，DMANCE2，设AMBNDEm，ON+m+24.5+m，B（4.5+m，m），4+m），当反比例函数y（常数k0、D时25；当反比例函数y（常数k5、c时，解得m3，k4.7（2+3）22.6，故答案为5或22.516（5分）已知ABC与
19、ABD在同一平面内，点C，D不重合，AB4，ACAD222或4或2【分析】分C,D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形。【解答】解：如图，当C，过点A作AECD于E在RtAEB中，AEB90,ABE30,AEAB5,ADAC2,DE22,DEECAE,ADC是等腰直角三角形，CD5,当C,D异侧时,BCC是等边三角形，BCBEEC2,CHBH1CH32,在RtDCH中，DC,DBD是等边三角形，DD2+6,CD的长为27或4或2。故答案为：28或4或2。三、解答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80
20、分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（8分）（1）计算：4sin60+（2）0（2）解不等式：5x+32（x+3）【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得【解答】解：（1）原式261；（2）8x+32（x+4），去括号得：5x+35x+6,移项得：5x5x63，合并同类项得：6x3，解得：x118（8分）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部
21、分学生进行问卷调查，并将抽查结果绘制成不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常了解”的人数为30人，占调查人数的15%，可求出接受问卷调查的学生数，进而求出“了解”所占比例，即可得出“了解”的扇形圆心角的度数；（2）样本中“非常了解”、“了解”的占调查人数的，进而估计总体中“非常了解”和“了解”的人数【解答】解：（1）接受问卷调查的学生数：3015%200（人），“了解”的
22、扇形圆心角度数为360126；答：本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为126；（3）1200600（人），答：估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人19（8分）号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，号无人机从海拔30m处同时出发（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）（m）与时间x（min）的关系如图两架无人机都上升了15min（1）求b的值及号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高28米【分析】（1）由题意得：b10+1
23、0560；再用待定系数法求出函数表达式即可；（2）由题意得：（10z+10）（6x+30）28，即可求解【解答】解：（1）b10+10560，设函数的表达式为ykx+t，将（0,30）,60）代入上式得，故函数表达式为y6x+30（5x15）；（2）由题意得：（10z+10）（6x+30）28，解得x125，故无人机上升12min，号无人机比号无人机高28米20（8分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，C是转动点，且AB（1）转动连杆BC，手臂CD，使ABC143，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据
24、：sin530.8，cos530.6）（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由【分析】（1）过点C作CPAE于点P，过点B作BQCP于点Q，在RtBCQ中，CQBCsin53，再根据DECPCQ+PQ可得答案；（2）当B,C,D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断【解答】解：（1）过点C作CPAE于点P，过点B作BQCP于点QABC143，CBQ53，在RtBCQ中，CQBCsin53700.856cm，CDl，DECPCQ+PQ56+50106cm（2）当B,C,D共线时BD60+70130cm，AB50cm，在Rt
25、ABD中，AB+ADBD，AD120cm110cm手臂端点D能碰到点M21（10分）如图，在ABC中，A40，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE（1）若ABC80，求BDC，ABE的度数；（2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(18080)50,根据三角形的内角定理得到ACB180405060,推出BCE是等边三角形，得到EBC60,于是得到结论;(2)设BEC,BDC,由于A+ABE40+ABE,根据等腰三角形的性质得到CBEBEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40+ABE,推出CBEBEC,于是得到结论。【解答】解：（1
26、）ABC80，BDBC,BDCBCD(18080)50,A+ABC+ACB180,A40,ACB180405060,CEBC,BCE是等边三角形，EBC60,ABEABCEBC20;(2)BEC与BDC之间的关系：BEC+BDC110,理由：设BEC,BDC,在ABE中，A+ABE40+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+4ABE40+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+2ABE40+2ABE,在BDC中，BDBC,BDC+BCD+DBC6+40+2ABE180,70ABE,+40+ABE+70ABE110,BEC+BDC11022（12分）小聪设计奖杯
27、，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，且点A，B关于y轴对称，杯高DO8，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯口直径ABAB，杯脚高CO不变，求AB的长【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式yax2+4，进而求得答案；（2）由题意知：0.6，进而求得OD10，再由题意得抛物线yx2+4过B(x1,10),A(x2,10),从而列方程求出x1 和x2，进而求得AB的长【解答】解：（1）CO4，顶点C(0，8)，设抛物线
28、的函数表达式为yax2+4，AB6，ADDB2，DO8，A(7，8)，8)，将B(5，8)代入yax2+5，得：8a22+4，解得：a1，该抛物线的函数表达式为yx2+4；（2）由题意得：0.6,0.3，CD6，ODOC+CD4+210，又杯体ACB所在抛物线形状不变，杯口直径ABAB，设B(x1，10)，A(x2，10),当y10时，10x7+4，解得：x1，x2，AB4，杯口直径AB的长为223（12分）问题：如图，在ABCD中，AB8，DAB，ABC的平分线AE，F，求EF的长答案：EF2探究：（1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AB的长；当点E与点
29、C重合时，求EF的长（2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值【分析】（1）证DEADAE，得DEAD5，同理BCCF5，即可求解；由题意得DEDC5，再由CFBC5，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD是平行四边形，CDAB8，BCAD5，DEABAE，AE平分DAB，DAEBAE，DEADAE，DEAD5，同理：BCCF5，点E与点F重合，ABCDDE+CF10；如图3所示：点E与点C重合，DEDC5，CFBC5，点F与点D重合
30、，EFDC5；（2）分三种情况：如图3所示：同（1）得：ADDE，点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，ADDEEFCF，；如图4所示：同（1）得：ADDECF，DFFECE，；如图5所示：同（1）得：ADDECF，DFDCCE，2；综上所述，的值为或24（14分）如图，矩形ABCD中，AB4，点F是对角线BD上一动点，ADB30连结EF（1）若EFBD，求DF的长；（2）若PEBD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围【分析】（1）由题意得点P在BD上，根据含30直角三角形的性质即可求解；（2）由对称可得DEF是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据
31、含30直角三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，结合（2）中求得的DF的值即可得出答案。【解答】解：（1）点D、点P关于直线EF的对称，点P在BD上，四边形ABCD是矩形，BAD90，AB4，ADB30AD4，点E是边AD的中点，DE2，EFBD，DF8；（2）如图2，PEBD，ADB30PED60,由对称可得，EF平分PED，DEFPEF30，DEF是等腰三角形，DFEF,PEBD,ADB30，QE,PEF30，EF2,DFEF2；如图5，PEBD，ADB30PED120,由对称可得，PFDF,EF平分PED，DEFPEF120，EFD30,DEF是等腰三角形，PEBD,QDQFDF,PEBD,ADB30，QE,QD3DF7QD6；DF的长为2或6；（3）由（2）得，当DQE90时,当DEQ90时，第一种情况，如图4，EF平分PED,DEF45,过点F作FMAD于点M，设EMa,DMa，a+a2，a8,DF68,2<DF<；第二种情况,如图5,EF平分AEQ,MEF45,过点F作FMAD于点M，设EMa,DMa，aa2，a5+,DF6+6,6+58,DF最大值为5，6<DF8。综上，DF长的取值范围为3<<62<DF8
