1、向量的线性运算【教学目标】1通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两向量的和向量。2在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。3通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。4通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。5学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平
2、行四边形法则做出两向量的差向量。6通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。【教学重难点】1向量加法的运算及其几何意义。2对向量加法法则定义的理解。3向量的减法运算及其几何意义。4对向量减法定义的理解。5实数与向量积的意义。6实数与向量积的运算律。7两个向量共线的等价条件及其运用。8对向量共线的等价条件的理解运用。【教学过程】一、求若干个向量的和的模（或最值）的问题通常按下列步骤进行：（1）寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、知识梳理：1
3、向量的加法定义：如图3，已知非零向量AB，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则。在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则。向量加法的平行四边形法则：如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A、B为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我
4、们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3向量a，b的加法也满足交换律和结合律：（1）对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。（2）两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。（3）当a，b不共线时，|a+b|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|
5、b|-|a|。一般地，我们有|a+b|a|+|b|。如图5，作=a，=b，以ABAD为邻边作ABCD，则=b，=A。因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+A。如图6，因为=+=（+）+=（a+b）+c，=+=+（+）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。4用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。5向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)
6、=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果A、B是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。（1）平行四边形法则：设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。（2）三角形法则：已知A、B，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。j定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反
7、向量，记作-a。k向量减法的定义。我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。l向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。5我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）|a|=|a|；（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反。由（1）可知，=0时，a=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么：（1）（a）=（）a；（2）（+）a=a+
8、a；（3）（a+b）=a+B。特别地，我们有（-）a=-（a）=（-a），（a-b）=a-b。向量共线的等价条件是：如果a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行即包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直
9、线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量A、B，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)=1a2b。三、课堂练习：1化简：（1）+；（2）+；（3）+。解：（1）+=+=；（2）+=+=（+）+=+=0；（3）+FA=+=+=+=+=0。解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。2若=a+b，=a-b，（1）当A、B满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（2）当A、B满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？（3）当A、B满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？（4）a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b。由此问题就可转换为：j当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a|=|b|）；k当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（A、B互相垂直）；l当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？（A、B相等）；ma+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，因为对角线方向不同）。解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。 5 / 5
