1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 湖南大学高等数学第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类
2、型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第四、五节 极限存在准则、两个重要极限第三章 函数的极限与连续性二.夹逼定理一.单调收敛准则三.两个重要极限五.柯西准则四.函数极限与数列极限的关系 .)(sup)(lim :,)(,xfxfxf的极限存在则在该极限过程中函数单调增加且有上界函数设在某极限过程中 .)(inf)(lim :,)(,xfxfxf的极限存在则在该极限过程中函数单调减少且有下界函数设在某极限过程中一般说成:在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.0 x0 x0 x ay ayay)(
3、xhy)(xfy)(xgy xyO 看懂后,用精确地语言描述它.有时设 ,)|(),(U 0Xxxx.)()()(xhxfxg则必有若 ,)(lim)(lim )()(00axhxgxxxxxx .)(lim)(0axfxxx证 .0的情形只证xx 且设 ,),U()()()(10 xxxhxfxg ,0 ,)(lim)(lim00则axhxgxxxx .|)(|,|0 ,0202axhxx时当 .|)(|,|0 ,0303axgxx时当 .)(axha即 .)(axga即 ,|0 ,min 0321时则当取xx ,)()()(axhxfxga .)(lim 0axfxx即例1 .2 lim0
4、 xxx求解 ,有由取整函数的定义 ,2212xxx;222 ,0 xxxx时故当 ,222 ,0 xxxx时当.22lim ,2)2(lim 00 xxxxx所以而夹逼定理夹逼定理 二二.重要极限重要极限 1sinlim .10 xxx重要极限 11lim .2exxx重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：1sinlim .1xxx0 0重要极限xxxsin010.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.999999998333333417477
5、30.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.00000001122xxysinxyO1运用夹逼定理,关键在于建立不等式.xO1DBAxy ,作一单位圆20 x先令从图中可看出:,xAOB 设面积面积扇形面积DOBAOBAOBxsinxtan证证 .)2(0 tan2121sin21 xxxx即xxxcos1sin1由sin x 与cos x 的奇偶性可知：,2|0 时当 x.1sincos 成立xxx1sinlim0 xxx得及夹逼定理由 ,
6、11lim ,1coslim 00 xxx ,20 时故当 x ,1sincos xxx即有其中,a 0 为常数.)()(sinlim 0)(axxax.)(0)(的极限为零表示在某极限过程中xxxxx5sinlim0 xxx5sinlim0求xxx55sin5lim0)5(.5sinlim50 xuuuu解例2 :)0()()(sinlim 0)(aaxxax或直接用公式 .55sinlim0 xxxxxxtanlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0求xxxxcos1sinlim0解例3x a 时,(x)=x a 0,.3)(3sinlimaxaxaxaxa
7、xax)(3sinlim求故解例4解例520cos1limxxx求2122sinlim2120 xxx20cos1limxxx22022sin21limxxx2202sin2limxxx,xt令xxxsinlimxxxsinlim求故1sinlim0ttt,时则x 0tttt)sin(lim0解例6xxxxx1sinsin1lim0(2)xxxxx1sinsin1lim求(1)请自己动手做一下例7(1)xxxsin1lim 001sinlim0 xxx)11sin (是有界量xxxxxx1sinsin1lim 01sinlim0 xxx11sinlimsin1lim00 xxxxxx解xxx1
8、sinlim 0sin1limxxx)1|sin|(是有界量xxxxxx1sinsin1 lim (2)111sinlimxxx11sinlimsin1limxxxxxx解由三角函数公式33232sin2cos2cos2cos2xxxxnnxxx2cos2cos2coslim2求2222sin2cos2cos2xxx2cos2sin2xxxsinnnnxxxx2sin2cos2cos2cos22例8解故 原式xxxxnnnsin2sin2limnnnxx2sin2sinlimxxsin2.重要极限 特别重要啊！变量代换xy1下面先证明exxx11lim由它能得到exxx11 lim吗？如果可行
9、,则可以利用极限运算性质axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim得到所需的结论吗？进一步可得exxx11 lim吗？在讨论数列极限时,有 .11limennn第一步：证明 因为 x +,故不妨设 x 0.exxx11 lim 1111111 nxn1111111111111 nxxxnnnxnn由实数知识,总可取 n N,使 n x n+1,故111limnnnnnn111lim ,111111lim1ennnn ,1111limennnn ,得故由夹逼定理时而xn .11limexxxexxx11 lim 我们作变量代换,将它归为 x +的情形即可.想想,作一个什么样的代换？.
10、,txtx时则令第二步：证明,tx令xx11tt111,1 tu再令xxx11lim,tx时则且时则 ,utttt1ttt1111111111ttteuuuu1111limtt11exxx11 lim由exxxxxx11lim11lim exxx11 lim第三步：证明现在证明exxx101 lim.的情形转化为xexxx10)1(lim令,1tx t ,则 x 0时,11lim)(1 lim10etxttxx故exxx10)1(lim于是有证综上所述,得到以下公式ennn11 limexxx11 limexxx10)1(lim其中,k 0 为常数.)(0)(的极限为零表示在某极限过程中xx.
11、)()(的极限为表示在某极限过程中xxxxx31 limxxx31 lim求33311 limxxx333311limexxx例9解xxx2cot20)tan31(lim3tan33202)tan31(limexxx例10 xxx2cot20)tan31(lim求解xxx21lim0210)21(limexxx(即 k=2 的情形)xxx21lim0求例11解xxxx11 lim)1(121ln1explimxxxxx2)1(121lnlim1limexpexxxxxx1)1(121 limxxxxx(1)xxxx11 lim求xxx121 lim例12解xxxx11 limxxxxx1111
12、limxxxxxx11lim11 lim 21eee解1cos 0 xx，时2211)1(cos1 )(cos xxxx21cos1cos1)1(cos1 xxxx210)(coslimxxx求)1 (例13解 ,211coslim ,)1(cos1 lim201cos10 xxexxxx又2110 )(cos lim2 exxx故常用的方法.1cos1sinlim xxxx求)1 (xxxx1cos1sinlimexxx22sin1lim221cos1sinlimxxxx例14解例15解 ).0(lnlnlim aaxaxax求你想怎么做你想怎么做?,0 ,于是时则令yaxyax 1ln1l
13、im)(ln)ln(lim lnlnlim00ayyayaayaaxaxyyax .1ln 1lnlim110aeayayy例16 .,3lim 10为正常数其中求极限cbacbaxxxxx解 .1 型的极限这是 ,3 )1()1()1(13xxxxxxcbacba ,3 )1()1()1()(则令xxxcbaxxxxxxxxxxxcba)()(1010)(1(lim 3lim .3)lnln(ln31abcecbaaxfnn)(limDf 为函数 f(x)的定义域.其中,极限值 a 可为有限数或为 ；)(lim0axfxx ),(,0 xxDxxnfnn对任意的数列 ,)(0都有时当nxxn
14、该定理说明：的则对于任何一个趋向于如果 ,)(lim .100 xaxfxx ),(,(0都有数列fDxxxxnnn ),(.200 xxxxnn的数列如果对每一个收敛于则有且所有极限相等存在极限 ,)(limnnxf .)(lim0axfxx.)(limaxfnn必要性：必要性：,)(lim 0axfxx设 .|)(|axf ,|0 ,0 0,0有时当则xx ,lim ,),(:00 xxxxfDxxnnnnn且 ,0 ,0 有时当则对于上面的NnN ,|0 xxn 从而有.|)(|axfn即有 .)(lim0axfnxx充分性：充分性：反证法反证法 .|)(|,|0 ,0 ,000axfx
15、xx但满足总存在则对于任意的的值取定一个下面怎么做？下面怎么做？,lim ),()(:00 xxxxfDxxnnnnn且假设 .)(lim axfnn有 .)(lim 0axfxx如果充分性：充分性：,lim ),()(:00 xxxxfDxxnnnnn且假设 .)(lim axfnn有 .)(lim 0axfxx如果反证法反证法 ),(1 ,0Znnn并取的值任意取定一个 ),(,1 满足存在一个则对每一个fDxnnn ,|00nnxx .|)(|0axfn且有 ,),(:0 xxfDxxnnn于是得到一个数列 .,性成立该矛盾说明定理的充分这与假设矛盾.|)(|,lim 00axfxxnn
16、n且 ,01limlim0 xnxnnnnnnnxxf1sinlim)(lim .00limsinlimnnn .1sinlim 0不存在证明xx证 .1sin)(,00 xxfx ,1 :)1(则取nxxnn ,221 :)2(nxxnn取 ,0221limlim 0 xnxnnn则例17nnnnxxf1sinlim)(lim1 1 lim)22(sinlimnnn .1sinlim 0不存在xx)(lim nnxfnnx1sinlimnnx1sinlim)(limnnxf五.柯西(Cauchy)准则 ,有时 )(lim 0的充要条件是：axfxx且当 )(,0 ,021fDxx|0 ,|0 0201xxxx|)()(|21xfxf .成立必要性：必要性：,)(lim 0axfxx设 ,|0 ,|0 )(,020121xxxxfDxx且 .2|)(|axf ,|0 ,0 0,0有时当则xx ,2|)(|,2|)(|21同时成立则有axfaxf|)()(|)()(|2121axfaxfxfxf.|)(|)(|21axfaxf充分性：充分性：,lim ),()(:00 xxxxfDxxn
