1、教 案教学基本信息课题正方形（第二课时）学科数学学段： 第三学段年级八年级教材书名：数学八年级下册 出版社： 人民教育出版社 出版日期： 2013年9月教学设计参与人员姓名单位设计者侯冠颖北京市陈经纶中学实施者侯冠颖北京市陈经纶中学指导者谢慧北京市朝阳区教育研究中心课件制作者侯冠颖北京市陈经纶中学教学目标及教学重点、难点本节课是在学生独立回顾正方形相关知识的基础上，建立正方形与特殊三角形之间的内在联系，从整体上认识正方形的特征.通过正方形的性质及相关问题的解决，发展学生的合情推理和抽象概括能力，提升学生应用数学的意识和能力.本节课将通过三道例题帮助学生完成学习任务.教学过程(表格描述)教学环节
2、主要教学活动设置意图引入在上节课，我们学习了正方形的定义，又从边、角、对角线三个角度，类比矩形、菱形的性质，研究了正方形的性质.还学习了正方形的判定方法.我们进一步感受了从一般到特殊的研究方法.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是更为特殊的平行四边形.本节课，我们会进一步研究正方形.回顾以往学习知识及经验.新课 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.图中共有多少个等腰直角三角形？一共有8个等腰直角三角形.AOBBOCCODDOA；ABCBCDCDADAB. 对比正方形和一般的平行四边形，平行四边形只是被对角线分成了4对全等的三角形.正方形中不止隐含着刚才分析的全等三角
3、形，还能够被对角线分出更为特殊的几何图形等腰直角三角形，这样就有特殊的角度45. 除正方形本身的四条边都相等，对角线相等并且互相垂直平分以外，这里还隐含着直角三角形斜边上的中线,与我们以前学过的很多知识产生了联系，为我们解决正方形相关的问题开拓了思路. 我们要利用好正方形与三角形的相互转化.挖掘正方形的隐含条件，加深对正方形的认识.例题 例 如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BEAF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ 分析：四边形ABCD是正方形 BCEABF CE与BF的关系解：CE=BF，CEBF.证明： 四边形ABCD是正方形
4、， ABCA90，BCAB. BEAF， BCEABF. CEBF，12. 1+390， 2+390. BGC90. CEBF . 反思：通过对正方形隐含条件的挖掘，得到了全等三角形，根据全等三角形的性质，得到对应边相等对应角相等.在本题中，如果在正方形的一组邻边上，有一组相等的线段BEAF，那么我们就可以发现 正方形的内部也有这样的两条线段CE与BF满足相等且垂直的关系.这两条线段关系的结论在很多问题中，还可以进一步去拓展和应用. 变式1 如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CEMN 于点G.求证:CEMN. 分析：利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两
5、条线段相等. 反思：本题中，在正方形的内部，当CE与MN满足了垂直关系时，我们还能得到它们是相等的.在学习变式的过程中，又给了我们不同的添加辅助线的方法. 变式2 如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CECH于点C.求证:CECH. 分析：利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两条线段相等. 反思：本题中，在正方形的外部，当CE与CH满足了垂直关系时，我们也能得到它们是相等的. 例 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标. 分析：题目中需要求的是B，C两点的坐标，具体的做法是：从这两个点向x轴和y轴分别作
6、垂线，分别求出这两点到坐标轴的距离. 还要根据点所在的象限，确定符号.解： 四边形OBCD是正方形， CBx轴，CDy轴，OBOD. 点D的坐标是(0，2)， OD2. OBOD2. 点B的坐标是(2，0). 点C在第一象限， 点C的坐标是(2，2). 反思：将正方形放到了平面直角坐标系中.从正方形的四条边都相等、四个角都是直角等性质出发，结合坐标系中点的坐标的含义，运用正方形的性质，求出正方形顶点的坐标.同时，还要注意，我们在几何中求出的是线段的长度，在平面直角坐标系中，求点的坐标的时候，还要关注点所在的象限. 例 如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内
7、，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值. 分析：利用正方形的对称性，让其中第一条线段转化为BP，而BP与所求线段PE就共线了，它们的和是线段BE.再通过正方形的性质和等腰三角形的定义就可以得到DP与EP的和. 解： AC是正方形ABCD的对角线， BPDP. DP+EPBP+EPBE. ABE是等边三角形， BEAB. 正方形ABCD的面积为16， AB4. DP+EPBE4. 反思：应用正方形的轴对称性，得到了线段间的数量关系，进一步挖掘了正方形的隐含条件.通过这道例题，我们也感受到了正方形的轴对称性的简洁和实用.通过例题，体会将正方形转化为三角形的过程，应用正方形的性质解决
8、问题.通过例题，体会正方形在平面直角坐标系中的应用，渗透数形结合思想.通过例题，感受正方形轴对称性的简洁性.总结 本节课，我们进一步研究了正方形.由于它既是平行四边形，又是矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.当判定一个四边形是正方形时，我们还要从它是矩形或者菱形的角度，添加条件去判定它是正方形. 正方形是一种特殊的图形，它除了四条边都相等，四个角都相等以外，当我们连接对角线时，可以发现更为特殊的三角形等腰直角三角形，它还隐含着特殊的角度45，还可以与勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识相结合，为我们后续证明或者计算线段以及角有关的问题，提供了更多的角度.对本节课所学知识梳理提升.作业1. 如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DEAG于点E，BFDE，且交AG于点F.求证：AF-BFEF. 2. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且 EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AEEF.巩固课堂学习内容.
