1、一 立体几何初步【知识网络】第一章 空间几何体的结构、三视图和直观图专题一 空间几何体的结构特征1多面体的结构特征2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线【典例1】给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_【答案】【思维升华】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，
2、在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析【迁移训练1】(1)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3(2)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命
3、题为_【答案】 (1)B(2)专题二 简单几何体的三视图1、三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图2、三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图【典例2】【2016合肥质检】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124 B188C28 D208【答案】D【迁移训练2】【2016全国3卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81【答案】B【解析】由题意知，几何体为平行
4、六面体，边长分别为3,3，几何体的表面积S362332325418.专题三 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半【典例3】如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形【迁移训练3】如图是水平放置的某个三角形的直观图，D是
5、ABC中BC边的中点且ADy轴，AB，AD，AC三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AD，最短的是AC【答案】C第二章 空间几何体的表面积与体积专题一 求空间几何体的表面积1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l【典例1】(2015安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
6、()A1 B2C12 D2【答案】B【迁移训练1】(2016大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_【答案】26专题二 求空间几何体的体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3【典例2】(2016三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.则三棱锥PABC体积的最大值为_【答案】【解析】VPABCPOSABC，当ABC的面积最大时，三棱锥PABC体积达到最大值当CO
7、AB时，ABC的面积最大，最大值为211，此时VPABCPOSABC.【迁移训练2】正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B. C1 D.专题三 与球有关的切、接问题【典例3】已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3【答案】C【解析】如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.【迁移训练3】正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A
8、. B16 C9 D.【答案】A第三章 空间点、线、面之间的位置关系专题一 平面基本性质的应用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行【典例1】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点【思维升华】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理2是证明三线共点或
9、三点共线的依据【迁移训练1】 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？专题二判断空间两直线的位置关系【典例2】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交(2)图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G
10、H、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【答案】 (1)(2)【解析】(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交(2)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面【思维升华】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；
11、对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【迁移训练2】如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_【答案】专题三求两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.【典例3】(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_【答案】60 (2)空间四边
12、形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小【解析】如图，取AC的中点G，连结EG、FG，则EGAB，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.【思维升华】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补
13、形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解【迁移训练3】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_【解析】画出正四面体ABCD的直观图，如图所示设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF，因为OEOF，所以COEF.又EOEFBD，所以cosFEC.第四章 直线、平面平行的判定与性质专题一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab【典例1】（1
14、）如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD. (2)连结FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.（2）(2014安徽)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证
15、明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积【解析】(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.【思维升华】判断或证明线面平行的
16、常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)【迁移训练1】(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，E为PD的中点，AB1，求证：CE平面PAB；(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形又E为PD的中点，ECPN，EC平面PAB，PN平面PAB，CE平面PAB.专题二平面与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，
17、b，a结论aba【典例2】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.【思维升华】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
18、平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化【迁移训练2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.【证明】(1)如图，连结SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连结SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1
19、B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，又EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.专题三平行关系的综合应用【典例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，SEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax)x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面
20、面积最大【思维升华】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决【迁移训练3】如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.【解析】如图所示，在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连结AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点xa，即PAa，PCa.又CE a，即GECDa，AFa.即AFA
21、B.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点第五章 直线、平面垂直的判定与性质专题一直线与平面垂直的判定与性质图形条件结论判定ab，b(b为内的任意一条直线)aam，an，m、n，mnOaab，ab性质a，baba，bab【典例1】(2014辽宁)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积【解析】(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC.又因E，F分别为AC，DC的中点，所以EFAD，所
22、以EF平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图【思维升华】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直【迁移训练1】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.【证明】因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtABC中，由AC
23、BC得，ABC30，设AD1，由3ADDB得，DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.专题二平面与平面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l【典例2】如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置
24、为点P，且使平面PBD平面BCD.【求证】(1)CD平面PBD.(2)平面PBC平面PDC. (2)由CD平面PBD得CDBP.又BPPD，PDCDD，BP平面PDC.又BP平面PBC，平面PBC平面PDC.【思维升华】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明【迁移训练2】(2015重庆)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADD
25、EEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长 (2)解设BCx，则在RtABC中，AB，从而SABCABBCx.由EFBC知，得AFEABC，故2，即SAFESABC.由ADAE，SAFDSAFESABCSABCx.从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFDxxx.由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中，PE2.体积VPDFBCSDFBCPEx27，故得x436x22430，解得x29或x227，由于x0，可得x3或x3.所以，BC3或BC3.专题三线面角、二面角的
26、求法【典例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，所以CD平面PAC.又AE平面PAC，所以AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.又PCCDC，所以AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，
27、垂足为M，连结AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.【思维升华】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质【迁移训练3】(2015山东)如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)
28、若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45 ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小【解析】(1) 证明【方法一】如图，连结DG，CD，设CDGFO，连结OH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(2) 解如图，作HMAC于点M，作MNGF于点N，连结NH.设AB2，则CF1.由FC平面ABC，得HMFC，又FCACC， 所以HM平面ACFD.因此GFNH，所以MNH即为所求的角在BGC中，HMBG，HMBG，由GNMGCF，可得，从而MN.由HM平面ACFD，MN平面ACFD，得HMMN，因此tanMNH，所以MNH60，所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.
