1、模块质量检测（B） (考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法错误的是()A如果命题“p”与命题“pq”都是真命题，那么命题q一定是真命题B命题“若a0，则ab0”的否命题是：“若a0，则ab0”C若命题p：x0R，x022x030，则p：xR，x22x30D“sin ”是“30”的充分不必要条件解析：显然由sin 不能推出30.答案：D2已知命题p：存在xR，使tan x1，命题q：x23x20的解集是x|1xb，则ac0)，由抛物线的定义知点P到准线的距离为4，故24，p4.抛物线方程
2、为x28y，代入点P坐标得m4，故选C.答案：7若ABC中，C90，A(1,2，3k)，B(2,1,0)，C(4,0，2k)，则k的值为()A. BC2 D解析：(6,1,2k)，(3,2，k)，则(6)(3)22k(k)2k2200，k.答案：D8已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：设Q(x，y，z)，因Q在上，故有，可得：x，y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以62161062，故当时，取最小值，此时Q，故选C.答案：C9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正
3、方形，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：焦距为2c，短轴长为2b，由已知：2c，b3c，又a2b2c29c2c210c2，e.答案：A10给出下列四个命题，其中真命题为()“xR，使得x213x”的否定是“xR，都有x213x”；“m2”是“直线(m2)xmy10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的必要不充分条件；设圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)与坐标轴有4个交点，分别为A(x1,0)，B(x2,0)，C(0，y1)，D(0，y2)，则x1x2y1y20；函数f(x)sin xx的零点个数有3个A BC D解析：正确；m2两条直线垂直，而两直线垂直推不出m2，m2是
4、这两条直线垂直的充分非必要条件，错误；令y0，x2DxF0得，x1x2F，令x0，y2EyF0，得y1y2F，x1x2y1y20，正确；错误答案：C11在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为()A30 B45C60 D90解析：如图所示，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则O，P(1，y,1)，A(1,0,0)，M，0，OP与MA所成的角为90.答案：D12设F1，F2是双曲线x24y24a(a0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足120，|1|2|2，则a的值为()A2 B.C1 D.解析：双曲线
5、方程化为1(a0)，120，PF1PF2.|2|24c220a，由双曲线定义|1|2|4，又已知：|2|2，由得：20a2216a，a1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中的横线上)13已知AB是过椭圆1左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是_解析：由椭圆定义|AB|AF2|BF2|4a20，得|AB|8.答案：814设命题p：|4x3|1，命题q：x2(2a1)xa(a1)0.若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是_解析：由已知p：14x31，x1，q：axa1，又pq，pq，即，由此可知0a.答
6、案：15若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则直线与平面的位置关系是_解析：au(1,0,2)(2,0，4)2810直线l与平面不平行，auau直线l与平面垂直答案：垂直16已知命题p：m1，命题q：2m29m100，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数m的取值范围是_解析：q：2m，由题意p真q假1m2或m.答案：1,2三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知a0，设p：函数yax在R上单调递减，q：不等式x|x2a|1的解集为R.若pq为假，pq为真，求a的取值范围解析：由函数yax
7、在R上单调递减知0a1，若p真，则0a1的解集为R，即yx|x2a|在R上恒大于1，又因为x|x2a|，函数yx|x2a|在R上的最小值为2a，故要使解集为R，只需2a1，a.若q真，则a.又pq为真，pq为假，p与q一真一假若p真q假，则0a；若p假q真，则a1.故a的取值范围为00，于是有kR.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则1.因为y1kx11，y2kx21，代入，得2k1. 又因为x1x22k，x1x22，代入得k1.所以直线l的方程为yx1.19(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，2)及左焦点F1的直线交
8、椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求CDF2的面积解析：(1)易得椭圆方程为y21.(2)F1(1,0)，直线BF1的方程为y2x2，由得9x216x60.162496400，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则|CD|x1x2|，又点F2到直线BF1的距离d，故SCDF2|CD|d.20(本小题满分12分)三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求二面角AA1BC的余弦值解析：(1)证明：如图，设A1Dt(0)，取AB的中点E
9、，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0，1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由0，知A1CCB，又BA1AC1，BA1CBB，从而AC1平面A1BC；(2)由3t20，得t.设平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，(0,1，)，(2,2,0)，所以，设z1，则n(，1)再设平面A1BC的法向量为m(u，v，w)，(0，1，)，(2,0,0)，所以，设w1，则m(0，1)，故cosm，n，因为二面角AA1BC为锐
10、角，所以可知二面角AA1BC的余弦值为.21(本小题满分12分)设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围解析：设Ax|px|x24ax3a20(a0)x|3axa(a0)，Bx|qx|x2x60或x22x80x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x4或x2x|x4或x2p是q的必要不充分条件，qp，且p/ q，x|4x2x|x3a或xa(a0)，则或即a0或a4.22(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解析：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1).(1，0)，(0，1)，(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)，cosmn.故二面角APBC的余弦值为.- 9 -
