1、,18.2.3 正方形,第十八章 平行四边形,优 翼 课 件,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学下（RJ）教学课件,第1课时 正方形的性质,1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点）,导入新课,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.,情景引入,你还能举出其他的例子吗？,讲授新课,矩 形,问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？,问题引入,正方形,问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？,正方形,邻边相等
2、,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定义：,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,归纳总结,已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.,证一证,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明：正方形ABCD是矩形,AO=BO=CO=
3、DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性：.对称轴：.,轴对称图形,4条,A,B,C,D,矩形,菱形,正方形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,归纳总结,例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
4、 交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的 等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.,典例精析,例2 如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，求证：EADEDA15.,证明：BEC是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30，ABE，DCE是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=
5、15.,【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小,解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.,易错提醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部,【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC
6、，连接AC、PD（1）求证：APBDPC；,解：四边形ABCD是正方形，ABC=DCB=90PB=PC，PBC=PCBABC-PBC=DCB-PCB，即ABP=DCP又AB=DC，PB=PC，APBDPC,证明：四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45APBDPC，AP=DP又AP=AB=AD，DP=AP=ADAPD是等边三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC,（2）求证：BAP=2PAC,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E，PFDC于F.试说明：AP=EF.,解:,连接PC，AC.,又PEBC，PFDC,四边形
7、ABCD是正方形,FCE=90,AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.,AP=PC.,AP=EF.,在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等,B,D,练一练,3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积,解：四边形ABCD是正
8、方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD，面积为AD28.,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2,A,1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等,A,当堂练习,3在正方形ABC中,ADB=,DAC=,BOC=.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是.,45,90,22.5,第3题图,第4题图,45,5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC
9、，求BE的长,解：四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.在RtABC中，FCACAF(1)cm，BE(1)cm,6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下：四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90.DCF=180-BCE=90.BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.,A,B,D,C,F,E,延长BE交DE于点M,BCEDCF,CBE=CDF.DCF=90,CDF+F=90,CBE+F=90,BMF=90.BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,课堂小结,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,见学练优本课时练习,课后作业,
