1、21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,人教版 数学 九年级 上册,1.一元二次方程的求根公式是什么？,【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？,2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0).b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0 时,方程无实数根.,导入新知,素养目标,1.探索一元二次方程的根与系数的关系.,2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.,3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程.,填表
2、，观察、猜想,【思考】你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.,探究新知,1,1,2,1,2,-5,-3,-10,-1,-4,-5,4,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2=-p,x1 x2=q.,探究新知,【猜一猜】,如果关于x的方程,的两根是x1
3、,x2,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,x1+x2=-p，x1x2=q,探究新知,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.用语言叙述发现的规律；ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.,探究新知,1 3,4 3,1 3，1,1 2，2,3 2,-1,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=,（韦达定理）,【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0.,常数项,探究新知,一次项系数,二次项系数,注意系数符号.,学生活动：请同学用求根公式证明.,例1 利用根与系数的关系，求下列方程的
4、两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;,解：这里 a=1,b=7,c=6.=b2-4ac=72 4 1 6=25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么x1+x2=-7,x1 x2=6.,探究新知,（2）2x2-3x-2=0.,解：这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）2 4 2(-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.,探究新知,不解方程，求方程两根的和与两根的积：x2+3x-1=0 2x2-4x+1=0,解：,原方程可化为：,二次项不是1，可以先把它化为1,巩固练习,例2
5、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是，k=7.,探究新知,已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0.,解这方程，得 k=-2.,由根与系数关系，得x1 23k,即 2 x1 6.,x1 3.,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,巩固练习,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：
6、根据根与系数的关系可知：,探究新知,（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).,4,1,12,14,巩固练习,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:,例4 设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4
7、 不合题意，舍去.,探究新知,归纳总结,探究新知,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1.,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3.,当k=9或-3时，由于 0，k的值为9或-3.,（）2-4=1.,巩固练习,当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.,一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A2 B1 C2 D0,D,链接中考,1.如果-1是方程2x2
8、x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.,1,-2,-3,课堂检测,基础巩固题,3.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得 m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=,课堂检测,4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.,解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；,（2）因为k=-7,所以 则：,课堂检测,设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2),解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=（2）,课堂检测,能力提升题,1.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,由根与系数的关系，得,课堂检测,拓广探索题,0,
