1、一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 17 页 专题九 解析几何 第二十九讲 曲线与方程 答案部分 1【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)FF，可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab又点1(3,)2在椭圆C上，所以2222311,43,abab，解得224,1,ab 因此，椭圆C的方程为2214xy 因为圆O的直径为12FF，所以其方程为223xy(2)设直线l与圆O相切于0000(),(00)P xyxy，则22003xy
2、，所以直线l的方程为0000()xyxxyy，即0003xyxyy 由220001,43,xyxyxyy 消去y，得 222200004243640()xyxx xy（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)4 4364(48)20 xxyyyx 因为00,0 x y，所以002,1xy 因此，点P的坐标为(2,1)因为三角形OAB的面积为2 67，所以21 267AB OP，从而4 27AB 设1122,()(),A x yB xy，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)xyxxxy，所以2222121()()xByyxA222
3、000222200048(2)(1)(4)xyxyxy 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 17 页 因为22003xy，所以22022016(2)32(1)49xABx，即42002451000 xx，解得22005(202xx舍去），则2012y，因此P的坐标为102(,)22 综上，直线l的方程为53 2yx PBAyxOF2F1 2【解析】（1）设(,)P x y，00(,)M xy，则0(,0)N x，0(,)NPxxy，0(0.)NMy 由
4、2NPNM得 0 xx，022yy 因为00(,)M xy在C上，所以22122xy 因此点P的轨迹方程为222xy（2）由题意知(1,0)F 设(3,)Qt，(,)P m n，则(3,)OQt，(1,)PFmn ，3 3OQ PFm tn，(,)OPm n，(3,)PQm tn ，由1OP PQ得2231mmtnn，又由（1）知222mn，故330mtn 所以0OQ PF，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直与OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 3【解析】()由离心率是23，有224=ba，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队
5、：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 17 页 又抛物线yx2=2的焦点坐标为)21,0(F，所以21=b，于是1=a，所以椭圆C的方程为1=4+22yx()（i）设P点坐标为2,),(0)2mP mm（，由yx2=2得xy=，所以E在点P处的切线l的斜率为m，因此切线l的方程为2=2mmxy，设),(),(2211yxByxA，),(00yxD，将2=2mmxy代入1=4+22yx，得 0=1+4)4+12322mxmxm（于是23214+14=+mmxx，232104+12=2+=mmxxx，又2200222(14)mmymxm，于是
6、直线OD的方程为xmy41=联立方程xmy41=与mx=，得M的坐标为1(,)4M m 所以点M在定直线41=y上（ii）在切线l的方程为2=2mmxy中，令0 x，得22my，即点G的坐标为2(0,)2mG，又2(,)2mP m，1(0,)2F，所以4)1+(=21=S21mmGFm；一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 17 页 再由32222(,)41 2(41)mmDmm，得)1+4(8)1+2(=1+4+241+221=S2222322mmmm
7、mmm 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=SSmmm 令1+2=2mt，得222111+2=)1+)(21(2=SSttttt 当21=1t时，即2=t时，21SS取得最大值49 此时21=2m，22=m，所以P点的坐标为)41,22P(所以21SS的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为2 1(,)24P 4【解析】（）设(,0)F c，由113|cOFOAFA，即113()ccaa ac，可得2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy（）解：设直线l的斜率为k（0k），则直线l的方程为)2(xky.设),(BByxB，由方程组
8、)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk 解得2x，或346822kkx，由题意得346822kkxB，从而34122kkyB 由（）知，)0,1(F，设),0(HyH，有),1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF.一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 17 页 由HFBF，得0HFBF，所以034123449222kkykkH，解得kkyH12492.因此直线MH的方程为kkxky124912
9、设),(MMyxM，由方程组)2(124912xkykkxky消去y，解得)1(1292022kkxM.在MAO中，|MOMAMAOMOA，即2222)2(MMMMyxyx，化简得1Mx，即1)1(1292022kk，解得46k或46k 所以，直线l的斜率的取值范围为),4646,(5【解析】（I）设11(,)M x y，则由题意知10y 当4t 时，椭圆E的方程为22143xy，A 点坐标为20，由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4 因此直线AM的方程为2yx 将2xy代入22143xy得27120yy 解得0y 或127y，所以1127y 所以AMN的面积为211121214422
10、27749AMNSAM（）由题意知3,0,(,0)tkAt，则直线AM的方程为yk xt，联立2213xytyk xt并整理得，222223230tkxt tk xt kt 解得xt 或2233t tktxtk，所以22222361133t tkttAMktktktk 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6 页共 17 页 由题意MANA，所以AN的方程为1()yxtk，同理可得226(1)|3k tkANkt 由2 AMAN,得22233ktkkt，即3(2)
11、3(21)ktkk 当32k 时上式成立，因此23632kktk 因为3t，即236332kkk，整理得231202kkk 即3202kk，解得322k 6【解析】（）设点(,0)D t(|2)t，00(,),(,)N x yM x y，依题意，2MDDN，且|1DNON，所以00(,)2(,)txyxt y，且22002200()11xtyxy 即00222txxtyy，且0(2)0t tx 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于 0，于是02tx，故00,42xyxy，代入22001xy，可得221164xy，即所求的曲线C的方程为221164xy（）（1）当直线l的斜率不存在时，直
12、线l为4x 或4x ，都有14482OPQS （2）当直线l的斜率存在时，设直线1:()2l ykxmk，由22416ykxmxy，消去y，可得222(14)84160kxkmxm 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 17 页 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k mkm，即22164mk 又由,20,ykxmxy 可得2(,)1212mmPkk；同理可得2(,)1212mmQkk 由原点O到直线PQ的距离为
13、2|1mdk和2|1|PQPQkxx，可得 22111222|222121214OPQPQmmmSPQ dmxxmkkk 将代入得，222241281441OPQkmSkk 当214k 时，2224128()8(1)84141OPQkSkk；当2104k时，2224128()8(1)1414OPQkSkk 因2104k，则20141k，22214k，所以228(1)814OPQSk，当且仅当0k 时取等号所以当0k 时，OPQS的最小值为 8 综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8 7【解析】（1）由题意，得22ca且23acc，解得2a，1c，
14、则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy+=（2）当ABx轴时，2AB，又C3，不合题意 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为1yk x，11,x y，22,xy，将AB的方程代入椭圆方程，得22221 24210kxk xk，则221,2222 11 2kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且 2222221212122 2 111 2kABxxyykxxk 若0k，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科
15、数学）第 8 页共 17 页 从而0k，故直线C的方程为222121 21 2kkyxkkk，则P点的坐标为22522,12kkk，从而2222 31112kkPCkk 因为2PCAB，所以222222 3114 2 11212kkkkkk，解得1k 此时直线AB方程为1yx或1yx 8【解析】（1）由已知，点(2,1)在椭圆E上 因此，22222211,2,2ababcca解得2a，2b 所以椭圆的方程为22142xy（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点 如果存在定点Q满足条件，则|1|QCPCQDPD，即|QCQD 所以Q点在 y 轴上，可设Q点的坐标为0(0,)y
16、当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点 则(0,2)M，(0,2)N，由|QMPMQNPN，有00|2|21|2|21yy，解得01y 或02y 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为(0,2)Q 下面证明：对任意的直线l，均有|QAPAQBPB 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为1ykx，A、B的坐标分别为1122(,),(,)x yx y 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第
17、 9 页共 17 页 联立221,421xyykx得22(21)420kxkx 其判别式22168(21)0kk，所以，12122242,2121kxxx xkk 因此121212112xxkxxx x 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为22(,)Bx y xyOQPABB 又121122122111,QAQByykkkkkxxxxx ，所以QAQBkk，即,Q A B三点共线 所以12|xQAQAPAQBQBxPB 故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得|QAPAQBPB恒成立 9【解析】（）由题意得2221,2,2.bcaabc解得2a=2 故椭圆C的方程为2212xy 设M(Nx，0)因
18、为0m，所以11n 直线PA的方程为11nyxm，所以Mx=1mn，即(,0)1mMn 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页共 17 页（）因为点B与点A关于x轴对称，所以(,)B mn，设(,0)NN x，则Nx=1mn“存在点(0,)QQy使得OQM=ONQ等价”，“存在点(0,)QQy使得OMOQ=OQON”即Qy满足2QMNyxx 因为1Mmxn，1Nmxn，2212mn，所以22221QMNmyxxn 所以Qy=2或2Qy 故在y轴上存在点Q，
19、使得OQM=ONQ 点Q的坐标为(0,2)或(0,2)10【解析】（）由题意知0m，可设直线AB的方程为1yxbm 由22112yxbmxy 消去y，得222112()102bxxbmm 因为直线1yxbm 与椭圆2212xy有两个不同的交点，所以224220bm，设M为AB的中点，则2222(,)22mbm bMmm，代入直线方程12ymx解得2222mbm 由得63m 或63m （）令166(,0)(0,)22tm，则 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1
20、1 页共 17 页 42223222|112ttABtt，且O到直线AB的距离22121tdt 设AOB的面积为()S t，所以 221112()|2()22222S tAB dt，当且仅当212t 时，等号成立 故AOB面积的最大值为22 11【解析】（）可知5c，又53ca，3a，2224bac，椭圆 C 的标准方程为22194xy；（）设两切线为12,l l，当1lx轴或1/lx轴时，对应2/lx轴或2lx轴，可知(3,2)P 当1l与x轴不垂直且不平行时，03x ，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00()yyk xx，联立22194xy，得2220000(94)
21、18()9()360kxykx kxykx，因为直线与椭圆相切，所以0，得222200009()(94)()40ykxkkykx，2200364()40kykx，2220000(9)240 xkx y ky 所以k是方程2220000(9)240 xxx y xy的一个根，同理1k是方程2220000(9)240 xxx y xy的另一个根，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 12 页共 17 页 1()kk 202049yx，得220013xy，其中03x ，
22、所以点 P 的轨迹方程为2213xy（3x ），因为(3,2)P 满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为2213xy 12【解析】（）设圆的半径为r，P点上下两段分别为,m n，24r，由射影定理得2rmn，三角形的面积 2242211444()1622smnrmn 422421181681622rm nrr 当2mn时，s取得最大，此时(2,2)P 2223,ccbaa，(2,2)P在双曲线上 222321cba，双曲线的方程为22-12yx（）由（）知2C的焦点为(-3,0),(3,0)，由此设2C的方程为22221113xybb，其中10b，由(2,2)P在2C上，得213b，2C的方程
23、为22163xy，显然，l不是直线0y，设l的方程为3xmy，点1122(,),(,)A x yB x y，由223163xmyxy得22(2)2 3-30mymy，121222-2 3-3,22myyy ymm 11220(-2,-2)(-2,-2)PA PBxyxy 21212(1)(3-2)-2()7-2 6my ymyy 由得22-2 64 6-110mm，解得123 6-22-6,22mm 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页共 17 页 因此
24、直线l的方程3 6-2302xy或2-6302xy 13【解析】（）由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|22224141112 23333，所以2a 又由已知，c1.所以椭圆 C 的离心率1222cea（）由（）知，椭圆 C 的方程为22xy21设点 Q 的坐标为(x，y)()当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0,1)，(0，1)两点，此时点 Q 的坐标为3 50,25()当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2 因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(1x，k1x2)，(2x，k2x2)，则|AM|2(1k2)21x，|AN|
25、2(1k2)22x 又|AQ|2x2(y2)2(1k2)2x 由222211|AQAMAN，得 22222212211111kxkxkx ，即212122222212122211xxx xxxxx x.将 ykx2 代入22xy21 中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得 k232.由可知，12xx2821kk，12x x2621k，代入中并化简，得2218103xk.一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 14 页共 17 页 因为点
26、 Q 在直线 ykx2 上，所以2ykx，代入中并化简，得 10(y2)23x218.由及 k232，可知 0 x232，即 x6,0260,2.又3 50,25满足 10(y2)23x218，故 x66,22.由题意，Q(x，y)在椭圆 C 内，所以1y1.又由 10(y2)2183x2有(y2)29 9,5 4且1y1，则 y13 5,225.所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y2)23x218，其中 x66,22，y13 5,225.14【解析】（）解法 1：设 M 的坐标为(,)x y，由已知得 222(5)3xxy，易知圆2C上的点位于直线2x 的右侧.于是20 x，所以 22(5)
27、5xyx.化简得曲线1C的方程为220yx 解法 2：由题设知，曲线1C上任意一点 M 到圆心2C(5,0)的距离等于它到直线5x 的距离，因此，曲线1C是以(5,0)为焦点，直线5x 为准线的抛物线，故其方程为220yx（）当点 P 在直线4x 上运动时，P 的坐标为0(4,)y，又03y ，则过 P 且与圆2C相切的直线的斜率k存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),yyk x0即kx-y+y+4k=0.于是 02543.1kykk 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：11859416
28、88 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页共 17 页 整理得 2200721890.ky ky 设过 P 所作的两条切线,PA PC的斜率分别为12,k k，则12,k k是方程的两个实根，故 001218.724yykk 由101240,20,k xyykyx得21012020(4)0.k yyyk 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,y y y y，则12,y y是方程的两个实根，所以 0112120(4).ykyyk 同理可得 0234220(4).ykyyk 于是由，三式得 010212341 2400(4)(4)ykyky y y yk k 201201 21 24
29、004()16ykkyk kk k 22001212400166400yyk kk k.所以，当 P 在直线4x 上运动时，四点,A B C D的纵坐标之积为定值 6400 15【解析】（）解：设12(,0),(,0)(0)FcF cc，由题意，可得212|,PFFF 即22()2.acbc 整理得22()10,1cccaaa 得（舍），或1.2ca所以1.2e （）解：由（）知2,3,ac bc可得椭圆方程为2223412,xyc 直线 PF2方程为3().yxc A，B 两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一
30、样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页共 17 页 消去 y 并整理，得2580.xcx 解得1280,.5xxc 得方程组的解21128,0,53,3 3.5xcxycyc 不妨设83 3(,),(0,3)55Acc Bc 设点M的坐标为83 3(,),(,),(,3)55x yAMxc yc BMx yc则，由33(),.3yxccxy得 于是8 3383 3(,),15555AMyxyx(,3).BMxx由2,AM BM 即8 3383 3()()3215555yxxyxx ，化简得21816 3150.xxy
31、 将2218153105,0.31616 3xxycxycxx代入得 所以0.x 因此，点M的轨迹方程是21816 3150(0).xxyx 16【解析】（1）联立2xy 与2 xy得2,1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ 的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，2)212(252xy化简可得21128yxx，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，中点M一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 17 页共 17 页 的轨迹方程为21128yxx（4541x）（2）曲线22251:24025G xaxyya，即圆E：2549)2()(22yax，其圆心坐标为)2,(aE，半径57r，设圆G与直线l：20 xy相切于点(,)TTT xy，则有|22|752a，即7 25a 过点(,2)N a与直线l垂直的直线l的方程是21()yxa ，即20 xy 由2020 xyxya，解得2Tax，22Tay 当7 25a 时，7 21210Tx 1,2分别是D上的点的最小和最大横坐标，切点TD，故min7 25a
