1、一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 11 页 专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 答案部分 112【解析】利用cosx，siny，可得直线的方程为0 xya，圆的方程为22(1)1xy，所以圆心(1,0)，半径1r，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1|12a，12a 或12，又0a，12a 21【解析】圆的普通方程为222440 xyxy，即22(1)(2)1xy 设圆心为(1,2)C，所以min|2 1 1AP
2、PCr 32【解析】直线的普通方程为2 3210 xy，圆的普通方程为22(1)1xy，因为圆心到直线的距离314d ，所以有两个交点 42【解析】将cos3 sin10 化为直角坐标方程为310 xy，将=2cos 化为直角坐标方程为22(1)1xy，圆心坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)在直线310 xy 上，所以|AB|=2r=2 55 22【解析】由2 sin()24-=得22(sincos)22?=，所以1yx-=，故直线l的直角坐标方程为10 xy-+=，而点7(2 2,)4A对应的直角坐标为(2,2)A-，所以点(2,2)A-到直线l：10 xy-+=的距离为|22 1
3、|5 222+=66【解析】圆8sin=即28 sin=，化为直角坐标方程为22(4)16xy+-=，直线3=，则tan3=，化为直角坐标方程为30 xy-=，圆心(0,4)到直线 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 11 页 的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6 7【解析】(1)由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy(2)由(1)知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆 由题设知，1C是过点(0,2)B且关
4、于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l 由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点 当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k 或0k 经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点 当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k 或43k 经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，2l与2C没有公
5、共点 综上，所求1C的方程为4|23yx 8【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tan yx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80 tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 11 页 120tt 又由得1224
6、(2cossin)1 3cos tt，故2 cossin0，于是直线l的斜率tan2 k 9【解析】(1)O的直角坐标方程为221xy 当2时，l与O交于两点 当2时，记tank，则l的方程为2ykxl与O交于两点当且仅当22|11k，解得1k 或1k，即(,)4 2 或(,)24 综上，的取值范围是(,)44 (2)l的参数方程为cos,(2sinxttyt 为参数，44)设A，B，P对应的参数分别为At，Bt，Pt，则2ABPttt，且At，Bt满足22 2 sin10tt 于是2 2sinABtt，2sinPt又点P的坐标(,)x y满足cos,2sin.PPxtyt 所以点P的轨迹的参
7、数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44)10C【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos，所以曲线C的圆心为(2,0)，直径为 4 的圆 因为直线l的极坐标方程为sin()26，则直线l过(4,0)A，倾斜角为6，所以 A 为直线l与圆C的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB=6 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 11 页 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2，xBOAl 所以4cos2 36AB 因此，直线l被曲线C截
8、得的弦长为2 3 11【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy 当1a 时，直线l的普通方程为430 xy 由2243019xyxy解得30 xy或21252425xy 从而C与l的交点坐标为(3,0)，21 24(,)25 25（2）直线l的普通方程为440 xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad 当4a时，d的最大值为917a由题设得91717a，所以8a；当4a 时，d的最大值为117a 由题设得11717a，所以16a 综上，8a 或16a 12【解析】（1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为1(,)1(0)由椭圆知|OP，14|co
9、sOM 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 11 页 由|16OMOP得2C的极坐标方程4cos(0)因此2C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx（2）设点B的极坐标为(,)B(0)B由题设知|2OA，4cosB，于是OAB面积 1|sin2BSOAAOB 4cos|sin()|3 32|sin(2)|32 23 当12 时，S取得最大值23 所以OAB面积的最大值为23 13【解析】（1）消去参数t得1l的普通方程:lyk x12；消去参数m得2
10、l的普通方程:lyxk212 设(,)P x y，由题设得yk xyxk212，消去k得xyy2240 所以C的普通方程为xyy2240（2）C的极坐标方程为cossin2224,0 2 联立cossincossin2224+-2=0得cossincossin=2+故tan 13，从而cossin2291=，=1010 代入cossin222-=4得2=5，所以交点M的极径为5 14【解析】直线l的普通方程为280 xy.一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6
11、页共 11 页 因为点P在曲线C上，设2(2,2 2)Pss，从而点P到直线l的的距离2222|24 28|2(2)45(1)(2)sssd，当2s 时，min4 55d.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值4 55.15【解析】(1)cos1sinxatyat（t均为参数）2221xya 1C为以01，为圆心，a为半径的圆方程为222210 xyya 222sinxyy，222 sin10a 即为1C的极坐标方程(2)24cosC：两边同乘得22224 coscosxyx，224xyx 即2224xy 3C：化为普通方程为2yx，由题意：1C和2C的公共方程所
12、在直线即为3C 得：24210 xya，即为3C 210a，1a 16【解析】（）整理圆的方程得2212110 xy，由222cossinxyxy可知圆C的极坐标方程为212 cos110()记直线的斜率为k，则直线的方程为0kxy，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 11 页 由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk，即22369014kk，整理得253k，则153k 17【解析】（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为4
13、0 xy.（）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为2C是直线，所以|PQ 的最小值，即为P到2C的距离()d的最小值，|3cossin4|()2|sin()2|32d 当且仅当2()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为3 1(,)2 2 18【解析】椭圆C的普通方程为2214yx，将直线l的参数方程11232xtyt，代入2214yx，得223()12(1)124tt，即27160tt，解得10t，2167t .所以1216|7ABtt.19【解析】（）因为cos,sinxy，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40（）
14、将=4代入22 cos4 sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为2C的半径为 1，则2C MN的面积o12 1 sin452=12 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页共 11 页 20【解析】（）曲线2C的直角坐标方程为2220 xyy，曲线3C的直角坐标方程为222 30 xyx联立222220,2 30,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy 所以2C与1C交点的直角坐标为(0,0)和3 3(,)22（）
15、曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0 因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(2 3cos,)所以2sin2 3cosAB4 in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4 21【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xoy 圆C的极坐标方程为2222 2sincos4022，化简，得22 sin2 cos40 则圆C的直角坐标方程为222240 xyxy，即22116xy，所以圆C的半径为6 22【解析】（）由22 3sin,2 3 sin得，从而有2222+2 3,+33xyyxy所以（）设13(3t,t),C(0,3)22P+又
16、，则22213|PC|331222ttt，故当t=0 时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0).一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页共 11 页 23【解析】2cos.().3sin.xy（I）曲线C的参数方程为为参数 60.lxy直线 的普通方程为2 5 分（）cossinl曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为 54cos3sin6.5d 2 545sin()6,tan.sin3053dPA则其中 为锐角，且 22 5sin.5PA 当(+
17、)=-1时，取得最大值，最大值为 2 5sin()1.5PA当时，取得最小值，最小值为 24【解析】（I）C 的普通方程为22(1)1(01)xyy 可得 C 的参数方程为 1 cos,sin,xtyt（t 为参数，0tx）（）设 D(1 cos,sin)tt.由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同，tan3,3tt 故 D 的直角坐标为(1 cos,sin)33，即33(,)22 25【解析】将45cos55sinxtyt消去参数t，化为普通方程22(4)(5)25xy，即1C：2281016
18、0 xyxy，将cossinxy代入22810160 xyxy得，28 cos10 sin160，1C的极坐标方程为28 cos10 sin160；（）2C的普通方程为2220 xyy，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页共 11 页 由222281016020 xyxyxyy解得11xy或02xy，1C与2C的交点的极坐标分别为(2,4)，(2,)2 26【解析】（）由题意有2cos,2sin,2cos2,2sin2,PQ因此 coscos2,sins
19、in2M M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin2,xy（02）（）M点到坐标原点的距离 2222cosdxy（02）当时，0d，故M的轨迹过坐标原点 27【解析】（1）点,A B C D的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636 点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)P x y；则002cos()3sinxy为参数 222222004416tPAPBPCPDxy 23220sin32,52 28【解析】（I）设(,)P x y，则由条件知 M(,2 2x y).由于 M 点在1C上，所以 2cos222sin2xy，即4cos44sinxy 从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数），（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin 射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 11 页共 11 页 所以21|2 3AB
